\[ \Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\] \[ = \dfrac{{\left[ {a + bi} \right]\left[ {a + bi} \right]}}{{\left[ {a - bi} \right]\left[ {a + bi} \right]}}\] \[ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}} \in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow ab = 0\].
Đề bài
Cho \[z = a + bi \in \mathbb{C}\], biết \[\dfrac{z}{{\overline z }} \in \mathbb{R}\]. Kết luận nào sau đây đúng?
A. \[a = 0\] B. \[b = 0\]
C. \[a = b\] D. \[ab = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \[\overline z \] và \[\dfrac{z}{{\overline z }}\] rồi sử dụng lý thuyết số phức \[x + yi \in \mathbb{R} \Leftrightarrow y = 0\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\overline z = a - bi\]
\[ \Rightarrow \dfrac{z}{{\overline z }} = \dfrac{{a + bi}}{{a - bi}}\] \[ = \dfrac{{\left[ {a + bi} \right]\left[ {a + bi} \right]}}{{\left[ {a - bi} \right]\left[ {a + bi} \right]}}\] \[ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{{{a^2} + {b^2}}} \in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow ab = 0\].
Chọn D.