Đề bài
Cho số nguyên\[n \ge 2\]và cho số thực\[{a_1},{a_2},...,{a_n}\]thuộc khoảng\[\left[ {0;1} \right]\]. Chứng minh rằng
\[\left[ {1 - {a_1}} \right]\left[ {1 - {a_2}} \right]...\left[ {1 - {a_n}} \right] > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_n}\]
Lời giải chi tiết
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp
Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi [1]
Với \[n = 2,\] xét hai số thực túy ý \[{a_1},{a_2} \in \left[ {0;1} \right]\] ta có
\[\left[ {1 - {a_1}} \right]\left[ {1 - {a_2}} \right] \]
\[= 1 - {a_1} - {a_2} + {a_1}{a_2} > 1 - {a_1} - {a_2}\] [do \[{a_1},{a_2} > 0\] ]
Như thế, [1] đúng khi \[n = 2\]
Giả sử đã có [1] đúng khi \[n = k,k \in N^*\] và \[k \ge 2,\]
Xét \[k + 1\] số thực tùy ý \[{a_1},{a_2},...,{a_k},{a_{k + 1}}\] thuộc khoảng \[\left[ {0;1} \right]\]
Vì k số \[{a_1},{a_2},...,{a_k}\] thuộc khoảng \[\left[ {0;1} \right]\] nên theo giả thiết quy nạp ta có
\[\left[ {1 - {a_1}} \right]\left[ {1 - {a_2}} \right]...\left[ {1 - {a_k}} \right] > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}\]
Từ đó, vì \[1 - {a_{k + 1}} > 0,\] suy ra
\[\left[ {1 - {a_1}} \right]\left[ {1 - {a_2}} \right]...\left[ {1 - {a_k}} \right]\left[ {1 - {a_{k + 1}}} \right] >\]
\[\left[ {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right]\left[ {1 - {a_{k + 1}}} \right]\] [2]
Lại có
\[\eqalign{
& \left[ {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right]\left[ {1 - {a_{k + 1}}} \right] \cr
& = 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}} \cr&+ \left[ {1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k}} \right]{a_{k + 1}} \cr
& > 1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3] \cr} \]
Từ [2] và [3] ta được
\[\left[ {1 - {a_1}} \right]\left[ {1 - {a_2}} \right]...\left[ {1 - {a_k}} \right]\left[ {1 - {a_{k + 1}}} \right] > \]
\[1 - {a_1} - {a_2} - ... - {a_k} - {a_{k + 1}}\]
Như vậy [1] cũng đúng khi \[n = k + 1\]
Từ các chứng minh trên suy ra có điều cần chứng minh theo yêu cầu của để bài.