Đề bài - đề số 11 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9
|
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y} \right] - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\sqrt 2 + 1 - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)y - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\ - y - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\ - 2y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Đề bài Câu 1 (2,5 điểm):Cho hai biểu thức\(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\)và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\)với \(x > 0,\,\,x \ne 9\) 1) Tính giá trị của biểu thứcAkhi \(x = 3\) 2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) 3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4. Câu 2 (2,5 điểm):Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne - 1\)có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\) 1) Tìm giá trị củamđể đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 2) Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) với giá trị m tìm được ở câu 1 3) Tìm giá trị củamđể đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm nằm trên trục hoành Câu 3 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\) Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểmHcố định nằm ngoài đường tròn. QuaHkẻ đường thẳngdvuông góc với đoạn thẳngOH. Từ một điểmSbất kì trên đường thẳngdkẻ hai tiếp tuyếnSA, SBvới đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, Blà tiếp điểm). GọiM,Nlần lượt là giao điểm của đoạn thẳngSOvới đoạn thẳngABvà với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). 1) Chứng minh bốn điếmS, A, O, Bcùng nằm trên một đường tròn 2) Chứng minh \(OM.OS = {R^2}\) 3) Chứng minhNlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB 4) Khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường nào? Tại sao? Câu 5 (0,5 điểm):Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\) Chứng minh rằng \(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\) LG bài 1 Lời giải chi tiết: Cho hai biểu thức\(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\)và\(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\)với\(x > 0,\,\,x \ne 9\) 1) Tính giá trị của biểu thứcAkhi\(x = 3\) Khi \(x = 3\)thì \(A = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 9}}{{\sqrt 3 - 3}} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 3} \right)}}{{\sqrt 3 - 3}} = - 5 - \sqrt 3 \) 2) Chứng minh\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) \(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}} \\\;\;\;= \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} + \sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 6\sqrt x + 9 + x - 3\sqrt x - x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \\\;\;\;= \dfrac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\) 3) So sánh\(\frac{A}{B}\)và 4. \(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x - 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\sqrt x \)và \(\frac{9}{{\sqrt x }}\) ta có: \(\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}} = 2.3 = 6.\) \( \Rightarrow \frac{A}{B} = \left( {\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right) - 2 \ge 6 - 2 = 4.\) Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right).\) Vậy \(\frac{A}{B} \ge 4\). LG bài 2 Lời giải chi tiết: Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne - 1\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\) 1) Tìm giá trị củamđể đường thẳng\(\left( d \right)\)cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1\( \Rightarrow \) Điểm \(A\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( d \right)\) \( \Rightarrow 1 = \left( {m + 1} \right)0 + m \Leftrightarrow m = 1\). Vậy với \(m = 1\)đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1. 2) Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng\(\left( d \right)\)với giá trị m tìm được ở câu 1 Với \(m = 1\) thì \(\left( d \right):\,y = 2x + 1\) Ta có:
Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne - 1\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\) 1) Tìm giá trị củamđể đường thẳng\(\left( d \right)\)cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1\( \Rightarrow \) Điểm \(A\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( d \right)\) \( \Rightarrow 1 = \left( {m + 1} \right)0 + m \Leftrightarrow m = 1\). Vậy với \(m = 1\)đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1. 2) Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng\(\left( d \right)\)với giá trị m tìm được ở câu 1 Với \(m = 1\) thì \(\left( d \right):\,y = 2x + 1\) Ta có:
Đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,y = 2x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\) 3) Tìm giá trị củamđể đường thẳng\(\left( d \right)\)cắt đường thẳng\(y = 3x + 2\)tại một điểm nằm trên trục hoành Gọi đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểmBnằm trên trục hoành \( \Rightarrow \)Blà giao điểm của đường thẳng \(y = 3x + 2\) với trục hoành \( \Rightarrow \,\,B\left( { - \frac{2}{3};0} \right)\) VìBcũng thuộc \(\left( d \right)\)\( \Rightarrow 0 = \left( {m + 1} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right) + m \Leftrightarrow \frac{1}{3}m - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 2\) Vậy với \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. LG bài 3 Lời giải chi tiết: Giải hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y} \right] - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\\sqrt 2 + 1 - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)y - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\ - y - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\ - 2y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y\\y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)\) LG bài 4 Lời giải chi tiết: Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểmHcố định nằm ngoài đường tròn. QuaHkẻ đường thẳngdvuông góc với đoạn thẳngOH. Từ một điểmSbất kì trên đường thẳngdkẻ hai tiếp tuyếnSA, SBvới đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (A, Blà tiếp điểm). GọiM,Nlần lượt là giao điểm của đoạn thẳngSOvới đoạn thẳngABvà với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). 1) Chứng minh bốn điếmS, A, O, Bcùng nằm trên một đường tròn Ta cóSA,SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\) \( \Rightarrow \)A, Bcùng thuộc đường tròn đường kínhOS \( \Rightarrow \)A, B, O, Scùng thuộc một đường tròn đường kínhOS. 2)Chứng minh\(OM.OS = {R^2}\) Ta cóSA, SBlà hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tạiS \( \Rightarrow \)\(SA = SB\) vàSOlà phân giác \(\angle ASB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác cân tạiS. \( \Rightarrow \)SOvừa là phân giác \(\angle ASB\) vừa là đường trung trực củaAB(tính chất tam giác cân) \( \Rightarrow SO \bot AB\) tạiM. \( \Rightarrow \)AMlà đường cao trong tam giác OAS Xét tam giácOASvuông tạiA, đường caoAMta có: \(OM.OS = O{A^2} = {R^2}\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) 3) Chứng minhNlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB Có \(\angle OBS = {90^o}\) (SBlà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))\( \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Có \(SO \bot AB\) (chứng minh trên)\( \Rightarrow \)Tam giácMNBvuông tạiM\( \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Có \(ON = OB = R \Rightarrow \) Tam giácONBcân tạiO\( \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\)(tính chất tam giác cân) \(\left( 3 \right)\) Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\)\( \Rightarrow \)BNlà phân giác \(\angle SBA\) Mặt khácSNlà phân giác \(\angle ASB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(SN \cap BN = \left\{ N \right\}\) \( \Rightarrow \)Nlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB. 4) Khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường nào? Tại sao? Gọi \(HO \cap AB = \left\{ K \right\}\). Xét \(\Delta OMK\) và \(\Delta OHS\) có: \(\angle O\)chung; \(\angle OMK = \angle OHS\,\,\,( = {90^o})\) \( \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\)(g.g) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\) VìHcố định \( \Rightarrow \)OHcố định màRcố định\( \Rightarrow \)OKcố định. Mặt khác \(\angle OMK = {90^o}\)\( \Rightarrow \)Mthuộc đường tròn đường kínhOKcố định. Vậy khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường tròn đường kínhOKcố định. LG bài 5 Lời giải chi tiết: Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\) Chứng minh rằng\(P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\) Với \(x,y,z > 0\) ta có: \(\frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} \le - {x^2}y + 6{y^3} - x{y^2}\) \( \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} - xy\left( {x + y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)luôn đúng với mọi \(x,\;y > 0.\) \( \Rightarrow \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x\)đúng với \(x,y,z > 0\) Tương tự ta được \(\frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} \le 2z - y\,;\,\,\frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2x - z\) \( \Rightarrow P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2y - x + 2z - y + 2x - z = x + y + z = 1\) Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\) Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com
|
