- a] Giải phương trình $$x+\sqrt{2 x-1}=2[3-x]^{2}.$$ b] Giải hệ phương trình $$\begin{cases}4 \sqrt{x^{2} y+2 x y^{2}+2 x-y^{3}}+2 x-y &=5 \\ x^{2}+2 x y-y^{2} &=-1\end{cases}$$
- Tìm số nguyên dương $n$, biết rằng trong ba mệnh đề sau đây có duy nhất một mệnh đề sai:
- $P$: "$n+15$ là một số chính phưong",
- $Q$: "$n$ có chũ số tận cùng là $2$",
- $R$: "$n-74$ là một số chính phương".
- Cho hai đường tròn $\left[O_{1}\right]$ và $\left[O_{2}\right]$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và $N$ là một điêm tùy ý trên đoạn $A B$ khác $A$, $B$. Một đường thẳng đi qua $B$ cắt $\left[O_{1}\right]$, $\left[O_{2}\right]$ tại $M_{1}$, $M_{2}$ theo thứ tự đó. Đường thẳng $M_{1} N$ cắt đường tròn $\left[O_{2}\right]$ tại $P_{2}$, $Q_{2}$ và đường thẳng $M_{2} N$ cắt đường tròn $\left[O_{1}\right]$ tại $P_{1}$, $Q_{1}$. Chúng minh rằng bốn điểm $P_{1}$, $P_{2}$, $Q_{1}$, $Q_{2}$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $O$ và $O B \perp M_{1} M_{2}$.
- Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $20$ em giỏi toán, $21$ em giỏi vật lí, $22$ em giỏi hóa học, $8$ em giỏi toán và hóa học, $11$ em giỏi vật lí và hóa học, $5$ em giỏi cả ba môn. Biết rằng mỗi học sinh trong lớp giỏi it nhất một môn. Tìm số học sinh giỏi cả toán và vật lí.
- Cho các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn điều kiện $5 x+4 y=23 x y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=4 x+9 y+\frac{3}{x}+\frac{7}{2 y}.$$
UBND TỈNH THÁI NGUYÊNSỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠOĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10NĂM HỌC 2011 - 2012MÔN : TOÁN HỌCThời gian: 150 phút [không kể thời gian giao đề][Đề thi gồm có 01 trang]Bài 1 [6 điểm]. a] Giải phương trình sau trên ¡: 24 12 1 27[ 1]x x x x+ + = +. b] Giải bất phương trình sau: 925 3xx≥ −− −. Bài 2 [3 điểm] Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho hai số 26+n v à11−n đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Bài 3 [3 điểm] Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng ··2KAB KAC=. Chứng minh rằng FL vuông góc với AC.B i 4 à [4 điểm] Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Bµi 5 [4điểm] Cho các số dương , ,x y z. Chứng minh bất đẳng thức: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 22 2 2 2 2 233 31 1 1 1 1 133 1 3 1 3 1x y y z z xx y zz x x y y z+ + + + + ++ + ≥ + + ++ + + Hết Họ và tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNHMÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012 Bài Lời giải ĐiểmBài 1 a] Giải phương trình sau trên ¡: 24 12 1 27[ 1]x x x x+ + = +. b] Giải bất phương trình sau: 925 3xx≥ −− −. Lời giải: a] Điều kiện: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ −. Phương trình đã cho tương đương với2 2 24 12 1 9[1 ] 36[1 ] [2 3 1 ] [6 1 ]x x x x x x x x+ + + + = + ⇔ + + = +2 3 1 6 1 3 1 22 3 1 6 1 9 1 2x x x x xx x x x x + + = + + =⇔ ⇔ + + = − + + = − [1][2]Ta có 2 29[1 ] 4 4 9 9 0[1] 30 0x x x xxx x+ = − − = ⇔ ⇔ ⇔ = ≥ ≥ Ta có 2 281[1 ] 4 4 81 81 081 9 97[2]80 0x x x xxx x+ = − − = −⇔ ⇔ ⇔ = ≤ ≤ Kết luận: 3x = ; 81 9 978x−= là nghiệm của phương trình đã cho. b] Điều kiện: 25 3 08xxx≠− − ≠ ⇔≠. TH1 : Xét 2x < ta có : [ ]9 91 2 25 3 2x xx x⇔ ≥ − ⇔ ≥ −− − − [ ]22 9 3 2 3x x⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ 1 5x⇔ − ≤ ≤ Vậy 1 2x− ≤ < là nghiệm.TH2 : Xét 2 5x< < ta có : [ ]9 91 2 25 3 2x xx x⇔ ≥ − ⇔ ≥ −− − − [ ]22 9x⇔ − − ≥ [ Bpt vô nghiệm]TH3 : Xét 5 8x< ≠ ta có : [ ] [ ]9 91 2 2 08 8x xx x⇔ ≥ − ⇔ − − ≥− − [ ] [ ]29 8 210 70 08 8x xx xx x− − −− + −⇔ ≥ ⇔ ≥− − [ ][ ]28 10 7 0x x x⇔ − − + ≤ 5 3 28 5 3 2xx≤ −⇔< ≤ + 0,5 đ1 đ1 đ0,5 đ0,5 đ2 đKết hợp với miền x đang xét ta có 8 5 3 2x< ≤ + là nghiệm của Bpt.Vậy tập nghiệm của Bpt là :[][1;2 8;5 3 2S= − ∪ +0,5 đBài 2 Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho hai số 26+n v à11−n đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho 326 xn=+ vµ 311 yn=− với ,x y là hai số nguyên dương [ ]x y>. Khi đó ta được 37]][[372233=++−⇔=− yxyxyxyx.Ta thấy 220 yxyxyx ++. Nên:[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]2 2 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1x y y z z xSz x x y y z+ + + + + +≥ + ++ + + + + + [ ] [ ] [ ]2 2 21 1 11 1 1y z xz x y+ + += + ++ + + [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]21 1 131 1 1y z xx y zz x y+ + + + + ≥ = + + ++ + + + + [đpcm]Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1a b c= = =1 đ3 đ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN [dành cho các thí sinh thi Chuyên Toán] Ngày thi: 30/6/2012 Thời gian làm bài: 150 phút [không kể thời gian giao đề] ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 1,5 điểm Chứng minh : 1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015 Bài 2 1,5 điểm Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 không có nghiệm nguyên. Bài 3 1 điểm Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x . Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 … Hãy giải phương trình 4 3x 5x 557 Bài 4 2 điểm Cho biểu thức 3111 1 1xxPx x x x x a. Tìm x để P > 0 b. Tìm giá trị của P khi 539 2 7x Bài 5 1 điểm Ta viết dãy phân số 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 20122013 đứng ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy trên. Bài 6 1,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD [ K không trùng với A hoặc D], gọi K1,K2,K3,K4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB. Chứng minh K1 là trực tâm của tam giác K2K3K4. Bài 7 1,5 điểm Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q là giao điểm của AE và CB. Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R2. … Hết… Họ và tên: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1 1,5 điểm Chứng minh : 1.2.3….1005.1006.1007 + 1008.1009….2013.2014 chia hết cho 2015 Giải: 1008.1009….2013.2014 = [2015-1007][2015-1006]…[2015-2][2015-1] = A.2015 – 1007.1006…3.2.1 =>ĐPCM Bài 2 1,5 điểm Chứng minh rằng phương trình 2013x2 + 2 = y2 không có nghiệm nguyên. Giải : Nhận thấy rằng x và y cùng tính chẵn, lẻ. +] y chẵn : VP ≡ 0[mod4], VT ≡ 2[mod4] +] y lẻ : VP ≡ 1[mod8],VT ≡ 7[mod8] Bài 3 1 điểm Kí hiệu [x] dùng để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ [3,47] = 3; [5] = 5; [ -2,75] = -3 … Hãy giải phương trình 4 3x 5x 557 Giải:Phương trình đã cho tương đương với 4 3x 5x 5 9 53 10 5x 5 5015 7 23 46 23 7 465x 5 5x 5 5x 57 7 7x 5x 5017x Bài 4 2 điểm Cho biểu thức 3111 1 1xxPx x x x x c. Tìm x để P > 0 d. Tìm giá trị của P khi 539 2 7x Giải: Rút gọn P = 21xx với điều kiện x > 1. a. P > 0 [ 1] 2 1 1 0xx 2[ 1 1] 0x 1 1 0x x ≠2 Vậy P > 0 khi x lớn hơn 1, x khác 2. b. P = 7 [253 53[9 2 7]9 2 7 [ 7 1] 1]81 289 2 7x Bài 5 1 điểm Ta viết dãy phân số 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 Hỏi phân số 20122013 đứng ở vị trí thứ mấy trong dãy trên. Giải: Ta phân chia dãy đã viết thành các nhóm như sau: nhóm thứ nhất có 1 phân số, nhóm thứ hai có 2 phân số, nhóm thứ ba có 3 phân số,… Phân số thứ nhất [thuộc nhóm thứ nhất] có tổng của tử và mẫu bằng 2, hai phân số tiếp theo [thuộc nhóm thứ hai] có tổng của tử và mẫu bằng 3, ba phân số tiếp theo [thuộc nhóm thứ ba] có tổng của tử và mẫu bằng 4, bốn phân số tiếp theo [thuộc nhóm thứ bốn] có tổng của tử và mẫu bằng 5… Như vậy, phân số 20122013 ở vị trí thứ 2013 trong nhóm các phân số có tổng của tử và mẫu bằng 4025 [ bằng 2012 + 2013], tức là nhóm các phân số 4024 4023 4022 2012 3 2 1; ; ; ; ; ;1 2 3 2013 4022 4023 4024 . Số các phân số từ phân số thứ nhất cho đến nhóm này là 1 + 2 +…+ 4023 = 4023.40244023.20122. Vậy phân số 20122013 ở vị trí thứ 4023.2012 + 2013 = 8096289 trong dãy Bài 6 1,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Gọi K là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD [ K không trùng với A hoặc D], gọi K1,K2,K3,K4 lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ K xuống AD, AB, CD, CB. Chứng minh K1 là trực tâm của tam giác K2K3K4. Giải: Gọi I là giao của KC và K3K4. Kẻ K2K1 cắt K3K4 tại E. ĐPCM K2E vuông góc với K3K4. Vì tứ giác AK1KK2 nội tiếp nên góc K1K2K= góc K1AK. [1] Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên góc K1AK= góc KCK3 [2] Vì tam giác IKK3 cân nên góc IKK3 = góc IK3K [3] Vì tam giác KCK3 vuông nên góc IKK3 + góc KCK3 = 1v [4] Từ [1], [2], [3],[4] có góc EK2K3 + góc EK3K2 = 1v hay góc K2EK3 = 1v Bài 7 1,5 điểm Trong hình tròn tâm O, bán kính R dựng hai đường kính vuông góc AE và BF. Trên cung nhỏ EF lấy điểm C. Gọi P là giao điểm của AC và BF, gọi Q là giao điểm của AE và CB. Chứng minh diện tích của tứ giác APQB bằng R2. Giải: ĐPCM 2.2AQ BPR Tacó 0[ 45 ,dA]2ABP QABQAB ABPs cung CAPB QBA Từ đó AB BPAQ BA hay AQ.BP = 2R2 vì 2AB R Ghi chú : Học sinh giải đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm cần thảo luận kỹ về thang điểm cho từng phần để thống nhất trong quá trình chấm. A B C D ∙ K K4 K1 K3 K2 . I E E A B F . C P Q