Góc giữa hai đường thẳng công thức
Cho hai đường thẳng trong mặt phẳng, khi đó xảy ra 3 trường hợp sau: Show
Nhận xét:
Công thức: Cho hai đường thẳng \(d_1: A_1x+B_1y+C_1=0\) và \(d_2: A_2x+B_2y+C_2=0\) lần lượt có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1)\) và \(\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2)\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(d_1\) và \(d_2\) thì ta có công thức Cho hai đường thẳng \(d_1: \begin{cases} x=x_1+a_1t \\ y=y_1+b_1t \end{cases}\) và \(d_2: \begin{cases} x=x_2+a_2t \\ y= y_2+b_2t \end{cases}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1)\), \(\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2).\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng trên, ta có \[\cos \varphi = \dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left| \overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\big|a_1a_2+b_12_2\big|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2.}}\] Chú ý. Cho tam giác \(ABC\), khi đó góc \(\widehat{BAC}\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) chứ không phải là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) và góc \(\widehat{A}\) có thể tù. Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng sau
1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau. - Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°. - Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh (4 góc). Ta chọngóc không tùlà góc giữa hai đường thẳng. Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc. 2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
- Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau avà b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b. - Cách 2: Cho hai đường thẳng avà b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// bthì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b. 3. Cách tính góc giữa hai đường thẳngα là góc giữa hai đường thẳng a, b – Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α – Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º - α Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính. Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng a và b. Giả sử véctơ u1, u2lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Để tính góc của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta so sánh góc của chúng với 2 vectơ chỉ phương của chúng. Ta có thể dễ dàng thấy góc giữa 2 đường thẳngbằng hoặc bùso với góc giữa hai vectơ chỉ phương. Do đó nếu gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng. Thì ta cócông thức tính giữa hai đường thẳngnhư sau: Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Tính góc giữa hai đường thẳng đó. Lời giải:
4. Bài tập có lời giải chi tiếtBài tập 1: Bài tập 2. Bài tập 3. Phương trình của hai đường thẳng có dạng
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng ${a}'$, ${b}'$ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng ${a}'$ và ${b}'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. 2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳngĐể xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha $ thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $\alpha $ nếu $0\le \alpha \le 90{}^\circ $ và bằng $180{}^\circ -\alpha $ nếu $90{}^\circ <\alpha \le 180{}^\circ $. Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0{}^\circ $. Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo $0\le \alpha \le 90{}^\circ $. 3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳngĐể tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau: ■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$ Tương tự ta có: $\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}$ và $\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}$ Chú ý: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)$ ■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ dựa vào công thức $\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}$ từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng có đáp án chi tiết
Lời giải chi tiết Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra $AM=CE=\frac{a}{2}$. Khi đó $AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .$ Mặt khác $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow $ độ dài đường trung tuyến AN là $AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Do $\Delta ABC$ đều nên $CM\bot AM\Rightarrow $ AMCE là hình chữ nhật. Khi đó $CE\bot AE$ mà $CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.$ $\Delta SEC$ vuông tại E có đường trung tuyến $EN=\frac{1}{2}SC=a.$ Ta có: $\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.$ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$ Khi đó $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.$ Lại có: $AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
Lời giải chi tiết Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó $\left\{ \begin{array} {} MP//SC \\ {} N//AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).$ Ta có: $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.$ Mặt khác $\Delta SAC$ vuông tại S $\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ $B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$ Suy ra $P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Khi đó $\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .$ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$ $=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.$ Suy ra $\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .$
Lời giải chi tiết Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{BC}\left( \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD} \right)=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}$ $=\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}-C{{A}^{2}} \right).$ Khi đó $\cos \left( BC;DA \right)=\frac{\left| \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA} \right|}{BC.DA}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}.$ Đặc biệt: Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ và $BC=AD=z$ ta đặt $\left\{ \begin{array} {} \alpha =\left( \widehat{BC;AD} \right) \\ {} \beta =\left( \widehat{AB;CD} \right) \\ {} \gamma =\left( \widehat{AC;BD} \right) \\ \end{array} \right.$ thì ta có: $\cos \alpha =\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}};\cos \beta =\frac{\left| {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right|}{{{x}^{2}}};\cos \gamma =\frac{{{z}^{2}}-{{z}^{2}}}{{{y}^{2}}}.$
Lời giải chi tiết ■ Cách 1: Do $SA\bot \left( ABCD \right).$ Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó $DN//BE//MI.$ Tacó: $AM=a;AI=\frac{AE}{2}=\frac{a}{2}.$ Mặt khác: $S{{M}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}=2{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}.$ $MI=A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}$. Do vậy $\cos \widehat{SMI}=\frac{S{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2.SM.MI}=\frac{\sqrt{10}}{5}=cos(\widehat{SM;DN}).$ ■ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{SM}.\left( \overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SD} \right)=\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SN}\text{ }-\text{ }\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SD}$ $\text{=}\frac{1}{2}\left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{M}^{2}}+S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}} \right)$ Mặt khác: $S{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}=6{{a}^{2}},MN=\frac{AC}{2}=\text{ }a\sqrt{2},S{{D}^{2}}=5{{a}^{2}},M{{D}^{2}}=5{{a}^{2}}.$ Do đó $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}=2{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left( SM;DN \right)=\frac{\left| 2{{a}^{2}} \right|}{SM.DN}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
Lời giải chi tiết a) Do $BC//AD\Rightarrow (\widehat{SD;BC})=(\widehat{SD;AD})=\widehat{SDA}$ $\Delta SAD$ vuông tại A $\Rightarrow \cos \widehat{SDA}=\frac{AD}{SD}=\frac{AD}{\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB. Khi đó $MK//SB$, mặt khác $MC//AI.$ Suy ra $(\widehat{SB;AI})=(\widehat{MK;CM}).$ Ta có: $MK=\frac{SB}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; $MC=\sqrt{M{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{3a}{2}$; $KC=\sqrt{K{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a.$ Khi đó $cos\widehat{KMC}=\frac{K{{M}^{2}}\text{+ }M{{C}^{2}}-K{{C}^{2}}}{2.KM.MC}=-\frac{1}{3\sqrt{5}}\Rightarrow cos\left( \widehat{SB;AI} \right)=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$ Cách khác: Ta có:$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{SB}.\left( \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right)=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}$ $=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{I}^{2}}-I{{B}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)$ Do $S{{B}^{2}}=5{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}=\frac{25{{a}^{2}}}{4};AI=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}}=\frac{3a}{2}=IB.$ Suy ra $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow \cos \left( SB;AI \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI} \right|}{SB.AI}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}.\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$
Lời giải chi tiết a) Do $AB=BC=a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh a. Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB.$ Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\ {} AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$ $\Delta ABC$ đều nên $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2},\left( \widehat{SC;\left( ABC \right)} \right)=\text{ }\widehat{SCH}=30{}^\circ $ Ta có: $SH=HC\tan 30{}^\circ =\frac{a}{2}.$ Do $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=120{}^\circ \Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AH.AD\cos 120{}^\circ }=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$ Suy ra $SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}$. Mặt khác $AD//BC\text{ }\Rightarrow \left( \widehat{BC;SD} \right)=\left( \widehat{AD;SD} \right)$, $\cos \widehat{SDA}=\frac{D{{S}^{2}}+D{{A}^{2}}-S{{A}^{2}}}{2.DS.DA}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$ Do vậy $cos\left( \widehat{BC;SD} \right)=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$ b) Ta có $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{SC}.\left( \overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SD} \right)=\text{ }\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SD}$ $=\frac{1}{2}\left( S{{H}^{2}}+S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}-C{{D}^{2}} \right)=-\frac{3{{a}^{2}}}{4}$ Mặt khác: $SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=a\Rightarrow \cos \left( SC;DH \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SC};\overrightarrow{DH} \right|}{SC.DH}=\frac{\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{a.\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.$ Cách khác: Gọi I là trung điểm của CD$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} DH//BI \\ {} DH=BI=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\ \end{array} \right.$, gọi M là trung điểm của SD $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} MI//SC \\ {} MI=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2} \\ \end{array} \right.$. Lại có: $BD=a\sqrt{3}$; $SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Do đó $B{{M}^{2}}=\frac{B{{D}^{2}}+B{{S}^{2}}}{2}-\frac{S{{D}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{MIB}=\frac{M{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}{2.IM.IB}=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$ Suy ra $\cos \left( \widehat{DH;SC} \right)=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$
Lời giải chi tiết a) Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$ Do $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( \widehat{SC;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SCA}=\text{ }60{}^\circ .$ Khi đó $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}.$ Do $AD//BC\Rightarrow \left( \widehat{BC;SD} \right)=\left( \widehat{AD;SD} \right).$ Mặt khác $\cos \widehat{ADS}=\frac{AD}{SD}~~=\frac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}~$ $=\frac{2a}{\sqrt{6{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}~=\frac{\sqrt{10}}{5}=c\text{os}\widehat{\left( \text{BC;SD} \right)}.$ b) Gọi E là trung điểm của $AD\Rightarrow AE=DE=BC=a\Rightarrow $ ABCE là hình vuông cạnh a. Do $CE=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C. Ta có: $CD=\sqrt{C{{E}^{2}}+E{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow ID=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Lại có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=\left( \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}\left( S{{I}^{2}}+S{{D}^{2}}-D{{I}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{D}^{2}}-A{{D}^{2}} \right)$ Trong đó $A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}=\frac{17{{a}^{2}}}{2}.$ Do đó $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=3{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left( AI;SD \right)=\frac{3{{a}^{2}}}{AI.SD}=\frac{3{{a}^{2}}}{a\sqrt{10}}=\frac{3}{5}.$ Cách khác: Gọi M là trung điểm của SC$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} MI//SD \\ {} MI=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2} \\ \end{array} \right.,AI=\frac{a\sqrt{10}}{2},AM=\frac{SC}{2}=a\sqrt{2}.$ Khi đó $\widehat{MIA}=\frac{I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}{2.IM.IA}=\frac{3}{5}.$
Lời giải chi tiết a) Gọi H là trung điểm của BC. Ta có: $BC//{B}'{C}'\Rightarrow \left( \widehat{{B}'{C}';{A}'C} \right)=\left( \widehat{BC;{A}'C} \right)=\widehat{{A}'CH}.$ Mặt khác ${A}'H\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{A{A}';\left( ABC \right)} \right)=\widehat{A{A}'H}=60{}^\circ .$ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2}.$ Xét tam giác vuông ${A}'HC$ ta có: $\tan \widehat{{A}'CH}=\frac{{A}'H}{HC}=3.$ Vậy $\left( \widehat{B{C}';{A}'C} \right)=3.$ b) Do $C{C}'//A{A}'\Rightarrow \widehat{\left( C{C}';AB \right)}=\widehat{\left( A{A}';AB \right)}$ Ta có: ${A}'A=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}.$ ${A}'B=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\Rightarrow \cos \widehat{{A}'AB}=\frac{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}-{A}'{{B}^{2}}}{2.A{A}'.AB}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ Vậy $\cos \left( C{C}';AB \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ |