CHƯƠNG 9. Tương quan và hồi quy tuyến tính đơn
9.1. Tương quan tuyến tính đơn 9.2. Hồi quy tuyến tính đơn
9.3. Một số mơ hình phi tuyến có thể tuyến tính hố
Bài 9.1. Tương quan tuyến tính đơn
1. Hệ số tương quan mẫu:
Giả sử X và Y là 2 BNN. Trong nhều trường hợp X và Y phụ thuộc lẫn nhau, ví dụ, GS X là chiều dài
của bàn chân của 1 người và Y là chiều cao của người đó.
Để đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa 2 BNN X và Y, người ta đưa ra khái niệm hệ
số tương quan
ρ :
[ ]
Y X
Y X
Y X
E
σ σ
µ µ
ρ
− −
=
Người ta đã chứng minh được
1 1
≤ ≤
−
ρ
. Khi
ρ =0 thì khơng có sự tương quan tuyến tính giữa X và
Y. Đặc biệt khi X, Y có phân phối chuẩn đồng thời thì ρ
=0 khi và chỉ khi X, Y độc lập. Ngược lại, khi | ρ
| càng gần 1 thì sự phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y càng
mạnh. Nếu |
ρ |=1 thì Y là một hàm tuyến tính của X.
Muốn biết ρ
chúng ta phải biết phân bố của tập chính bao
gồm tất cả các giá trị của cặp X, Y. Tuy nhiên, điều này
là không thực tế. Vì vậy, chúng ta có bài tốn ước lượng và kiểm định hệ
số tương quan
ρ dựa vào mẫu ngẫu nhiên: x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, …, x
n
, y
n
các giá trị của X, Y.
1
Để ước lượng hệ số tương quan ρ
, chúng ta sử dụng hệ số tương quan mẫu:
∑ ∑
∑ =
= =
=
− −
− −
n
i n
i i
i n
i i
i
y y
x x
y y
x x
r
1 1
2 2
1
Chúng ta
thường áp dụng công thức tính tốn sau cho thuận lợi:
2 2
2 2
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
=
− −
−
y y
n x
x n
y x
xy n
r
Chú ý:
1 1
≤ ≤
− r
Ví dụ 1. Tính hệ số tương quan mẫu r dựa trên mẫu gồm 10 quan sát sau:
i
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
x
i
80 85
88 90
95 92
82 75
78 85
y
i
2.4 2.8 3.3 3.1 3.7 3 2.5 2.3 2.8 3.1
Giải Cách 1. Tính trực tiếp
Đầu tiên tính các tổng
∑ ∑
∑ ∑
∑
2 2
, ,
,
,
y x
xy y
x
Và thay vào cơng thức tính r:
858983 .
= r
Cách 2 : Dựa vào Excel
2
GS 10 giá trị của x
i
được xếp vào các ô từ A1 đến J1, 10 giá trị của y
i
được xếp vào các ô từ A2 đến J2. Khi đó, chỉ cần viết =CORRELA1:J1,A2:J2, kết quả nhận được
là 0.858983
Tiếp theo chúng ta đề cập đến bài toán kiểm định giả thiết về hệ số tương quan lý thuyết
ρ .
Bài toán đầu tiên và quan trọng nhất là kiểm định xem X và Y có tương quan với nhau hay khơng.
2. Bài tốn kiểm định giả thiết:
-
Giả thiết H :
ρ
=0
-
Đối thiết H
1
:
ρ≠ Tiêu chuẩn kiểm định được xây dựng dựa trên định lý
sau: Định lý: Nếu X, Y có phân bố chuẩn 2 chiều thì dưới
giả thiết H
, BNN
2
1 2
r n
r
T
− −
=
Có phân bố Student với n-2 bậc tự do. Với mức ý nghĩa
α , ta sẽ bác bỏ H
nếu |T|t
n-2
α 2.
Ví dụ: Trong một mẫu gồm 42 quan sát x
i
, y
i
rút ra từ tập hợp chính các giá trị của X, Y,
chúng ta tính được
hệ số tương quan mẫu là r=0.22. Giả sử cặp BNN X, Y có phân phối chuẩn đồng thời. Với mức ý nghĩa
α =5,
có thể kết luận rằng X và Y có tương quan hay khơng? Giải
Ta có
3
43 .
1
154 .
22 .
22 .
1 40
22 .
1 2
2 2
= =
= =
− −
− r
n r
T
Với bậc tự do 40, α
=5 ta tra bảng =TINV0.05,40=2.021075
So sánh, ta thấy |T|2.021075, vì vậy chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thiết H
.=chấp nhận Ho
3. Với bài toán kiểm định giả thiết:
Hệ số tương quan là một thước đo thống kê về sức mạnh của mối quan hệ giữa các chuyển động tương đối của hai biến số. Vậy quy định về Hệ số tương quan là gì, ứng dụng của hệ số tương quan trong tài chính được quy định như thế nào.
Tư vấn luật trực tuyến miễn phí qua tổng đài điện thoại: 1900.6568
– Khái niệm hệ số tương quan:
Các giá trị nằm trong khoảng từ -1,0 đến 1,0. Một số được tính toán lớn hơn 1,0 hoặc nhỏ hơn -1,0 có nghĩa là đã xảy ra lỗi trong phép đo tương quan. Tương quan -1,0 cho thấy mối tương quan âm hoàn hảo, trong khi mức tương quan 1,0 cho thấy mối tương quan thuận hoàn toàn. Tương quan 0,0 cho thấy không có mối quan hệ tuyến tính giữa chuyển động của hai biến.
Thống kê tương quan có thể được sử dụng trong tài chính và đầu tư. Ví dụ, một hệ số tương quan có thể được tính toán để xác định mức độ tương quan giữa giá dầu thô và giá cổ phiếu của một công ty sản xuất dầu, chẳng hạn như Exxon Mobil Corporation. Vì các công ty dầu mỏ kiếm được lợi nhuận lớn hơn khi giá dầu tăng, nên mối tương quan giữa hai biến số này rất tích cực.
+ Tương quan nghịch hoặc nghịch mô tả khi hai biến số có xu hướng di chuyển ngược chiều và kích thước với nhau, như vậy khi một biến tăng thì biến kia giảm và ngược lại. Tương quan nghịch được sử dụng khi xây dựng danh mục đầu tư đa dạng, để các nhà đầu tư có thể hưởng lợi từ việc tăng giá của một số tài sản nhất định khi những tài sản khác giảm giá. Mối tương quan giữa hai biến số có thể thay đổi rất nhiều theo thời gian. Cổ phiếu và trái phiếu nhìn chung có mối tương quan nghịch biến, nhưng trong 10 năm đến 2018, mối tương quan đo được của chúng nằm trong khoảng từ -0,8 đến +0,2.
+ Tương quan thuận là mối quan hệ giữa hai biến trong đó cả hai biến chuyển động song song – tức là cùng chiều.
Mối tương quan thuận tồn tại khi một biến giảm khi biến kia giảm hoặc một biến tăng trong khi biến kia tăng. Các cổ phiếu có thể có tương quan thuận ở một mức độ nào đó với nhau hoặc với thị trường nói chung. Beta là một thước đo phổ biến về mức độ tương quan giữa giá của một cổ phiếu với thị trường rộng lớn hơn, thường sử dụng chỉ số S&P 500 làm điểm chuẩn.
– Hệ số tương quan được sử dụng để đo độ bền của mối quan hệ giữa hai biến số. Pearson tương quan là một trong những tương quan phổ biến nhất được sử dụng trong thống kê. Điều này đo lường sức mạnh và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến. Giá trị luôn nằm trong khoảng từ -1 [mối quan hệ tiêu cực mạnh] và +1 [mối quan hệ tích cực mạnh mẽ]. Giá trị bằng hoặc gần bằng 0 ngụ ý mối quan hệ tuyến tính yếu hoặc không. Giá trị hệ số tương quan nhỏ hơn +0,8 hoặc lớn hơn -0,8 không được coi là đáng kể.
2. Ứng dụng của hệ số tương quan trong tài chính:
Ứng dụng của hệ số tương quan trong tài chính:
Xem thêm: Giải quyết mối quan hệ sống chung như vợ chồng không đăng ký kết hôn
Có một số loại hệ số tương quan, nhưng loại phổ biến nhất là hệ số tương quan Pearson [r]. Điều này đo lường sức mạnh và hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số. Nó không thể nắm bắt các mối quan hệ phi tuyến giữa hai biến và không thể phân biệt giữa các biến phụ thuộc và độc lập.
+ Mối quan hệ tuyến tính [hay sự kết hợp tuyến tính] là một thuật ngữ thống kê được sử dụng để mô tả mối quan hệ đường thẳng giữa hai biến số. Mối quan hệ tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị hoặc dưới dạng phương trình toán học có dạng y = mx + b. Mối quan hệ tuyến tính khá phổ biến trong cuộc sống hàng ngày.
– Giá trị chính xác bằng 1,0 có nghĩa là có một mối quan hệ thuận chiều hoàn hảo giữa hai biến. Đối với một biến số tăng dương, thì biến số thứ hai cũng tăng dương. Giá trị -1,0 có nghĩa là có một mối quan hệ âm hoàn hảo giữa hai biến. Điều này cho thấy rằng các biến chuyển động ngược chiều nhau – đối với một biến số tăng dương thì biến số thứ hai sẽ giảm xuống. Nếu mối tương quan giữa hai biến là 0, không có mối quan hệ tuyến tính giữa chúng.
Độ mạnh của mối quan hệ thay đổi theo mức độ dựa trên giá trị của hệ số tương quan. Ví dụ, giá trị 0,2 cho thấy có mối tương quan thuận giữa hai biến, nhưng nó yếu và có thể không quan trọng. Các nhà phân tích trong một số lĩnh vực nghiên cứu không coi các mối tương quan là quan trọng cho đến khi giá trị vượt qua ít nhất 0,8. Tuy nhiên, hệ số tương quan có giá trị tuyệt đối từ 0,9 trở lên sẽ thể hiện một mối quan hệ rất chặt chẽ.
– Thống kê Tương quan và Đầu tư:
Mối tương quan giữa hai biến đặc biệt hữu ích khi đầu tư vào thị trường tài chính. Ví dụ: mối tương quan có thể hữu ích trong việc xác định mức độ hoạt động của một quỹ tương hỗ so với chỉ số chuẩn của nó hoặc một quỹ hoặc loại tài sản khác. Bằng cách thêm một quỹ tương hỗ có tương quan thấp hoặc tương quan nghịch vào danh mục đầu tư hiện có, nhà đầu tư sẽ thu được lợi ích đa dạng hóa.
Nói cách khác, các nhà đầu tư có thể sử dụng các tài sản hoặc chứng khoán có tương quan nghịch để bảo vệ danh mục đầu tư của họ và giảm rủi ro thị trường do biến động hoặc biến động giá hoang dã. Nhiều nhà đầu tư phòng ngừa rủi ro về giá của danh mục đầu tư, điều này làm giảm hiệu quả bất kỳ khoản lãi hoặc lỗ vốn nào bởi vì họ muốn thu nhập cổ tức hoặc lợi nhuận từ cổ phiếu hoặc chứng khoán.
Thống kê tương quan cũng cho phép nhà đầu tư xác định khi nào mối tương quan giữa hai biến số thay đổi. Ví dụ, cổ phiếu ngân hàng thường có mối tương quan tích cực cao với lãi suất, vì lãi suất cho vay thường được tính dựa trên lãi suất thị trường. Nếu giá cổ phiếu của một ngân hàng nào đó giảm trong khi lãi suất tăng, các nhà đầu tư có thể nhận ra rằng có điều gì đó không ổn với ngân hàng cụ thể đó. Nếu giá cổ phiếu của các ngân hàng khác trong ngành cũng tăng, các nhà đầu tư có thể kết luận rằng cổ phiếu của ngân hàng ngoại tệ giảm không phải do lãi suất. Thay vào đó, ngân hàng hoạt động kém có khả năng đang giải quyết một vấn đề nội bộ, cơ bản.
Xem thêm: Các loại nghĩa vụ tài chính, khoản tiền phải nộp của người sử dụng đất
– Phương trình hệ số tương quan:
Để tính toán tương quan mô-men sản phẩm Pearson, trước tiên người ta phải xác định hiệp phương sai của hai biến được đề cập. Tiếp theo, người ta phải tính toán độ lệch chuẩn của mỗi biến. Hệ số tương quan được xác định bằng cách chia hiệp phương sai cho tích của độ lệch chuẩn của hai biến.
Pxy = [Cov[x,y]] : [σx σy]
ở đâu:
ρxy = Hệ số tương quan mômen sản phẩm Pearson
Cov [x, y] = hiệp phương sai của các biến x và y
σx = độ lệch chuẩn của x
σy = độ lệch chuẩn của y
Độ lệch chuẩn là thước đo độ phân tán của dữ liệu so với mức trung bình của nó. Hiệp phương sai là thước đo mức độ thay đổi của hai biến số cùng nhau, nhưng độ lớn của nó là không giới hạn nên rất khó giải thích. Bằng cách chia hiệp phương sai cho tích của hai độ lệch chuẩn, người ta có thể tính được phiên bản chuẩn hóa của thống kê. Đây là hệ số tương quan.
– Ý nghĩa của Hệ số Tương quan như sau:
Hệ số tương quan mô tả cách một biến di chuyển trong mối quan hệ với một biến khác. Mối tương quan thuận cho biết rằng cả hai di chuyển theo cùng một hướng, với mối tương quan +1.0 khi chúng di chuyển song song. Hệ số tương quan âm cho bạn biết rằng thay vào đó chúng di chuyển theo các hướng ngược nhau. Tương quan bằng 0 cho thấy không có tương quan nào cả.
– Các để tính toán hệ số tương quan như sau: Hệ số tương quan được tính trước tiên bằng cách xác định hiệp phương sai của các biến và sau đó chia đại lượng đó cho tích của độ lệch chuẩn của các biến đó.
Xem thêm: Cách tính lương, hệ số lương, phụ cấp của cán bộ công chức mới nhất
– Hệ số tương quan được sử dụng trong đầu tư như sau: Hệ số tương quan là một thước đo thống kê được sử dụng rộng rãi trong đầu tư. Chúng đóng một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực như thành phần danh mục đầu tư, giao dịch định lượng và đánh giá hiệu suất. Ví dụ, một số nhà quản lý danh mục đầu tư sẽ theo dõi hệ số tương quan của các tài sản riêng lẻ trong danh mục đầu tư của họ để đảm bảo rằng tổng mức biến động của danh mục đầu tư của họ được duy trì trong giới hạn có thể chấp nhận được.
Tương tự, các nhà phân tích đôi khi sẽ sử dụng hệ số tương quan để dự đoán cách một tài sản cụ thể sẽ bị tác động bởi sự thay đổi đối với yếu tố bên ngoài, chẳng hạn như giá hàng hóa hoặc lãi suất.