20:38:3211/10/2021
Ở lớp 8 các em đã học phương trình bậc nhất một ẩn. Trong thực tế, còn có các tình huống dẫn đến phương trình có nhiều hơn một ẩn như phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? khi nào phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm, vô nghiệm và có bao nhiêu nghiệm? là những câu hỏi sẽ được chúng ta giải đáp trong bài viết này.
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c [1]
- Trong đó a, b và c là các số đã biết [a ≠ 0 hoặc b ≠ 0].
* Ví dụ 1: Các phương trình sau là phương trình bậc nhất hai ẩn:
3x - 2y = 1; 2x + 5y = 0;
0x + 3y = 6; 3x + 0y = 9;
* Ví dụ 2: Cặp số [2; 3] là nghiệm của phương trình 2x - y = 1 vì 2.2 - 3 = 1. [Với cách này, ta luôn hiểu rằng x = 2 và y = 3.
> Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình [1] được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm [x0; y0] dược biểu diễn bởi điểm có tọa độ [x0; y0].
* Câu hỏi 1 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: a] Kiểm tra xem các cặp số [1; 1] và [0,5; 0] có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không?
b] Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1.
> Lời giải:
a] Cặp số [1; 1] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1
vì 2.1 – 1 = 1
Cặp số [0,5; 0] là nghiệm của phương trình 2x – y = 1
vì 2.0,5 – 0 = 1
b] Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3
Vậy cặp số [2; 3] là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
* Câu hỏi 2 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
> Lời giải:
- Chọn x = x0 [x0 ∈ R] ta có: 2x0 - y = 1 ⇔ y = 2x0 -1
Nên mọi cặp số dạng [x0; 2x0 -1] với x0 ∈ R tùy ý đều là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
⇒ Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm.
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
• Một nghiệm của phương trình [1] là một cặp số [x0, y0] sao cho ax0 + by0 = c.
• Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, ký hiệu là [d].
- Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
hoặc
Khi đó đường thẳng [d] cắt cả hai trục tọa độ.
- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
khi đó [d]//Ox
- Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì công thức nghiệm là:
khi đó [d]//Oy
* Câu hỏi 3 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình [2]: y = 2x - 1
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x - 1 |
> Lời giải:
- Ta có bảng giá trị sau:
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x - 1 | -3 | -1 | 0 | 1 | 3 | 4 |
Vậy 6 nghiệm của phương trình là: [-1; -3], [0;-1], [0,5; 0], [1;1], [2; 3], [2,5; 4].
Đến đây các em hoàn toàn có thể trả lời các câu hỏi như:
Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c, [với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0].
Phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm khi nào? có bao nhiêu nghiệm? Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Như vậy, phương trình bậc nhất hai ẩn KHÔNG thể vô nghiệm, nhưng HỆ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì có thể vô nghiệm là bài viết chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết tới.
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.
Bất phương trình \[ax + b > 0\] vô nghiệm khi:
Tập nghiệm \[S\] của bất phương trình $5x - 1 \ge \dfrac{{2x}}{5} + 3$ là:
Bất phương trình $\left[ {m - 1} \right]x > 3$ vô nghiệm khi
Tập nghiệm của bất phương trình \[4x - 5 \ge 3\] là
1. Phương trình bậc nhất \[ax + b = 0\]
+] \[a \ne 0\] thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x = - \dfrac{b}{a}\]
+] \[a = 0\] và $b \ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.
+] \[a = 0\] và $b = 0$ thì phương trình vô số nghiệm.
2. Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]
+] \[a = 0\] thì trở thành phương trình \[bx + c = 0\]
+] \[a \ne 0\]
i] \[\Delta > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\]
ii] \[\Delta = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\]
iii] \[\Delta < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
3. Định lý Vi-et cho phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\left[ {a \ne 0} \right]\] có hai nghiệm \[{x_1} \le {x_2}\]
Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\]
+] Nếu đa thức \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\] thì nó viết được thành \[f\left[ x \right] = a\left[ {x - {x_1}} \right]\left[ {x - {x_2}} \right]\]
+] Nếu hai số \[{x_1},{x_2}\] có tổng \[{x_1} + {x_2} = S\] và tích \[{x_1}.{x_2} = P\] thì chúng là nghiệm của phương trình \[{x^2} - Sx + P = 0\]
Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm \[{x_1} \le {x_2}\]. Đặt \[{x_1} + {x_2} = S,{x_1}.{x_2} = P\], khi đó:
- Nếu \[P < 0\] thì \[{x_1} < 0 < {x_2}\] [hai nghiệm trái dấu].
- Nếu \[P > 0\] và \[S > 0\] thì \[0 < {x_1} \le {x_2}\] [hai nghiệm dương].
- Nếu \[P > 0\] và \[S < 0\] thì \[{x_1} \le {x_2} < 0\] [hai nghiệm âm].
Phương trình bậc nhất một ẩn...............
Phương trình bậc nhất một ẩn...............
Phương trình bậc nhất một ẩn
I . Lí thuyết:
1 . Mở đầu về phương trình :
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng P[x] = Q[x] [ x là ẩn ] , trong đó vế trái P[x] và vế phải Q[x] là hai biểu thức cửa cùng một biến x.
- Số x gọi là nghiệm của phương trình nếu P[x] = Q[x] là một đẳng thức đúng.
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,….. nhưng cũng có thể không có nghiệm nào [ vô nghiệm]. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm [ hoặc tìm tập nghiệm ] của phương trình đó.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau [kể cả bằng tập rỗng]. Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
2 . Phương trình bậc nhất một ẩn:
- Định nghĩa : Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và a khác 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
- Hai quy tắc biến đổi tương đương;
+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số: Ta có thể nhân [ hoặc chia] cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0.
- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:
Ta có ax + b = 0 < = > ax = -b [ quy tắc chuyển vế]
< = > \[x=-\frac{b}{a}\] [ chia hai vế cho a khác 0 ]
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất là \[x=-\frac{b}{a}\].
3 . Kiến thức nâng cao :
- Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax + b = 0.
+ Với a ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất \[x=-\frac{b}{a}\]
+ Với a = 0, phương trình có dạng 0x = -b
Nếu b = 0 thì phương trình vô số nghiệm
Nếu b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
- Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là giải phương trình đó tùy theo các sở trường về giá trị của m.
II . Các dạng bài toán và ví dụ :
Dạng 1 : Xét xem một số có là nghiệm của phươn trình hay không
Ví dụ 1 : Hãy xét xem x = -3 có phải là nghiệm của phương trình sau hay không ?
a,\[2x-5=-14-x\];
b, \[\frac{2}{3}x-7=-3x\];
c, \[\frac{6}{x}-5=2x+1\];
d,\[{{x}^{2}}-4=2x+11\].
Giải
a, Thay = -3 vào phương trình, ta được :
2.[-3] – 5 = -14 – [ -3]
< = > -11 = -11 [ là một đẳng thức đúng ]
Vậy x = -3 là một nghiệm của phương trình.
b, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
\[\frac{2}{3}.[-3]-7=-3[-3]\]
< = > -9 = 9 [ là một đẳng thức sai]
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
c, Thay x = -3 vào phương trình , ta được :
\[\frac{6}{-3}-5=2[-3]+1\]
< = > -7 = -5 [ là một đẳng thức sai]
Vậy x = -3 không là nghiệm của phương trình
d, Thay x = -3 vào phương trình, ta được :
\[{{[-3]}^{2}}-4=2[-3]+11\]
< = > 5 = 5 [ là một đẳng thức đúng ]
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.
Nhận xét : Để xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không, ta thay số đó vào phương trình. Nếu kết quả là một đẳng thức đúng thì số đã cho là nghiệm ; trái lại , số đã cho không phải là nghiệm.
Dạng 2: Giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, \[\frac{3x-2}{5}=\frac{4-7x}{3}\];
b, \[2x[x-5]+21=x[2x+1]-12\].
Giải
\[a,\frac{3x-2}{5}=\frac{4-7x}{3}\Leftrightarrow 3[3x-2]=5[4-7x]\]
\[\Leftrightarrow 9x-6=20-35x\]
\[\Leftrightarrow 9x+35x=20+6\]
\[\Leftrightarrow 44x=26\Leftrightarrow x=\frac{13}{22}.\]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{13}{22}\]
\[b,2x[x-5]+21=x[2x+1]-12\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x+21=2{{x}^{2}}+x-12\]
\[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-10x-2{{x}^{2}}-x=-12-21\]
\[\Leftrightarrow -11x=-33\Leftrightarrow x=3\]
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3}
Dạng 3: Xét xem hai phương trình có tương đương hay không
Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau tương đưong:
x – m = 0 [1] và mx - 9 = 0
Giải
Phương trình [1]: x – m = 0 có nghiệm duy nhất là x = m . Vì hai phương trình tương đương nên x = m cũng là nghiệm của phương trình [2], tức là : m.m – 9 = 0
\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow m=\pm 3\]
Thử lại:
- Với m = 3, ta có phương trình [1] : x – 3 = 0 và phương trình [2]: 3x – 9 = 0
Có cùng tập nghiệm {3}. Vậy m = 3 thỏa mãn.
- Với m = -3, ta có phương trình [1]: x + 3 = 0 và phương trình [2]: [-3]x – 9 = 0 có cùng tập nghiệm {-3}. Vậy m = -3 thỏa mãn
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là -3 và 3.
Dạng 4 : Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
Ví dụ 4 : Giải và biện luận phương trình :\[[m-3]x={{m}^{2}}-3m\]
Giải
Ta có : \[[m-3]x={{m}^{2}}-3m\]\[\Rightarrow [m-3]x=m[m-3]\]
+ Nếu m – 3 ≠ 0, tức m ≠ 3, thì phương trình có nghiệm duy nhất là \[x=\frac{m[m-3]}{m-3}=m\].
+ Nếu m – 3 = 0 tức m = 3 thì ta có phương trình 0.x = 0 , đúng với mọi x.
Vậy nếu m ≠ 3 thì phương trình có tập nghiệm là {m};
nếu m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là R.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?
a, 2[3x – 1 ] -7 = 15 – [ x – 4 ];
b, x[3 – 4x ] -5 = 1 - \[{{x}^{3}}\].
Bài 2 : Tìm m để x = 1,5 là nghiệm của phương trình:
\[{{m}^{2}}[2x-3]-4x+m=5\]
Bài 3 : Chứng minh rằng phương trình 2mx – 5 = -x + 6m – 2 luôn có nghiệm x không phụ thuộc vào m ?
Bài 4 : Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
2x + 3 = 0 và [ 2x + 3 ] [ mx – 1 ] = 0
Bài 5 : Giải và biện luận các phương trình sau :
a, \[[1-m]x={{m}^{2}}-1;\]
b, \[[{{m}^{2}}-5m+6]x={{m}^{2}}-9.\]
Bài 6 : Cho phương trình \[\left[ 4{{m}^{2}}-25 \right]x-5=2m\]
a, Giải phương trình với m = 5 .
b, Tìm m để phương trình vô nghiệm.