Phương trình hàm phương pháp thế biến
|
This Paper A short summary of this paper 37 Full PDFs related to this paper --> Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụCHUYÊN ĐỀ MÔN: TOÁN.Tác giả: Nguyễn Ngọc XuânTổ: Toán. Trường THPT chuyên Hoàng Văn ThụTỉnh: Hòa Bình.PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀMPhương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất khi giải phương trình hàm. Ta có thể:• Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là 0, 1, 2, ± ±• Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt ( )f x y+ mà muốn có ( )0f thì ta thế y bởi x−, muốc có ( )f x thì cho 0y =, muốn có ( )f nx thì thế y bởi ( )1n x−.1.1 Thế ẩn tạo PTH mới:Ví dụ 1: Tìm { }: \ 2f →¡ ¡ thỏa mãn ( )22 12 1 11xf x x xx+ ⇒ + ∀ ≠ ÷− .Lời giải: Đặt { }12 1\ 21xxt txMGT≠+ = ⇒ = ÷− ¡(tập xác định của f). Ta được:1txt x+=− thế vào (1): ( )( )223 32tf t tt x−= ∀ ≠−. Thử lại thấy đúng.Vậy hàm số cần tìm có dạng ( )( )223 3tf tt x−=−.Nhận xét:+ Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết xx Dt DMGT∈⊃. Với giả thiết đó mới đảm bảo tính chất: “ Khi t chạy khắp các giá trị của t thì x=1 cũng chạy khắp tập xác định của f”.+ Trong ví dụ 1,nếu :f →¡ ¡thì có vô số hàm dạng ( )( )( )223 322xxf xxa−≠=−(Với a∈¡tùy ý)Ví dụ 2: Tìm hàm ](](: ; 1 0;1f −∞ − ∪ → ¡thỏa mãn:()( )2 21 1 1 2f x x x x x− − = + − ∀ ≥.Lời giải: Đặt ( )2 22201 11x tt x x x x tx x t− ≥= − − ⇔ − = − ⇔− = −Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ22 2 211 22x tx ttx x xt txt≥≥⇔ ⇔ +− = − +=. Hệ có nghiệm 2110 12ttx ttt≤ −+⇔ ≥ ⇔< ≤](](; 1 0;1t ∈ −∞ − ∪. Vậy ](](1; 1 0;1xt DMGT≥= = −∞ − ∪.Với 21t x x= − −thì ( )21 11x x f tt t+ − = ⇒ = thỏa mãn (2).Vậy ( )1f xx= là hàm số cần tìm.Ví dụ 3: Tìm 2: \ ;33f → ¡ ¡ thảo mãn: ( )3 1 11, 2 32 1x xf x xx x− + = ∀ ≠ ≠ ÷+ − .Lời giải: Đặt ( )123 1 2 2 1\ ;32 3 3xxx tt t xx tMGT≠≠− + = ⇒ = ⇒ = + − ¡thế vào (4) ta được: ( )43 2tf tt+=− thỏa mãn (3). Vậy hàm số cần tìm là: ( )43 2tf xx+=−Ví dụ 4: Tìm ( ) ( ): 0; 0;f +∞ → +∞thỏa mãn:( )( )( )( )( ) ( ), 0; 4 .xf xf y f f y x y= ∀ ∈ +∞Lời giải:Cho ( )1, 0;y x= ∈ +∞, ta được: ( )( )( )( )1 1xf xf f f=.Cho ( )11xf=ta được: ( )( )( )( )( )( )11 1 1 1 1f f xf x f xfx= ⇒ = ⇒ =. Đặt:( ) ( )( )( )11fat xf f t f tt t= ⇒ = ⇒ =(với ( )1a f=). Vì ( ) ( )( )( )0;1 0; 0;xf tMGT∈ +∞∈ +∞ ⇒ = +∞.Ví dụ 5: Tìm hàm ( ) ( ): 0; 0;f +∞ → +∞thỏa mãn:( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 31 ; . . , 0;2f f xy f x f f y f x yx y = = + ∀ ∈ +∞ ÷ ÷ (5).Lời giải:Cho 1; 3x y= = ta được: ( )132f =.Cho ( )1; 0;x y= ∈ +∞ ta được: ( )3f y fy = ÷ . Thế lại (5) ta được:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , 0; 5'f xy f x f y x y= ∀ ∈ +∞. Thay y bởi 3x ta đượcL( ) ( ) ( )( )223 13 2f f x f f xx x = ⇒ = ÷ ÷ . Thử lại thấy đúng.Vậy hàm số cần tìm là: ( )102f x x= ∀ >.Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụVí dụ 6: Tìm hàm :f →¡ ¡ thỏa mãn:( ) ( ) ( )( )( )2 2( ) 4 , 6 .x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = + ∀ ∈¡Lời giải: Ta có:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 261 14 4x y f x y x y f x yx y x y x y x y x y x y x y x y⇔ − + − + − = = + − − + + + − + + − − + − − Đặt u x yv x y= −= +ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )2 23 3 3 314vf u uf v u v u v u v u vvf u uf v u v v u v f u u u f u v− = + − + − −⇒ − = − ⇔ − = −+ Với 0uv ≠ ta có:( ) ( ) ( )( )3 3 3* 3, 0f u u f v v f u uu v a f u au u uu v u− − −= ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = + ∀ ≠¡+ Với 0; 0u v= ≠ suy ra: ( ) ( ) ( )3 30 0 0.f u u f u u f− = ⇔ = ⇒ =Hàm ( )3f u au u= + thỏa mãn ( )0 0f =. Vậy ( )3f u au u u= + ∀ ∈¡Hàm số cần tìm là: ( ) ( )3f u ax x a= + ∈¡. Thử lại thấy đúng.1.2. Thế ẩn tạo ra hệ PTH mới:Ví dụ 1: Tìm hàm :f →¡ ¡thỏa mãn: ( ) ( ) ( )1 1f x xf x x x+ − = + ∀ ∈¡.Lời giải:Đặt t x= −, ta được: ( ) ( ) ( )1 1f t tf t t t− − − = − + ∀ ∈¡. Ta có hệ:( ) ( )( ) ( )( )111f x xf x xf xxf x f x x+ − = +⇒ =− + − = − +. Thử lại hàm số cần tìm là: ( )1f x =.Ví dụ 2: Tìm hàm số { }: \ 0,1f →¡ ¡ Thỏa mãn: ( ) ( )*11 2xf x f x xx− + = + ∀ ∈ ÷ ¡.Lời giải: Đặt ( ) ( ) ( )1 11, 2 1 .xx f x f x xx−= ⇔ + = +Đặt ( ) ( ) ( )12 1 2 111 1, 2 1 .1xx f x f x xx x−= = ⇔ + = +−Đặt ( ) ( ) ( )23 2 221, 2 1 .xx x f x f x xx−= = ⇔ + = +Ta có hệ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 22 1 13 2 211 1 1 112 2 11f x f x xx x xf x f x x f x xx xf x f x x+ = ++ − + + = + ⇒ = = + + ÷− + = +. Thử lại thấy đúng. Vậy hàm số cần tìm có dạng: ( )1 1 12 1f x xx x = + + ÷− .Ví dụ 3: Tìm hàm số { }: \ 1;0;1f − →¡ ¡thỏa mãn: ( ) ( )11 1 3 .1xxf x xf xx− + = ∀ ≠ − ÷+ Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụLời giải:Đặt ( ) ( ) ( )1 11, 3 2 1.1xx xf x f xx−= ⇒ + =+Đặt ( ) ( ) ( )12 1 1 211 1, 3 2 1.1xx x f x f xx x−= = − ⇒ + =+Đặt ( ) ( ) ( )23 2 2 321 1, 3 2 1.1 1x xx x f x f xx x− += = ⇒ + =+ −Đặt ( ) ( ) ( )34 3 331, 3 2 1.1xx x x f x f xx−= = ⇒ + =+Ta có hệ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )121 1 22 2 33 32 12 14 1.5 12 12 1xf x f xx f x f xx xf xx xx f x f xx f x f x+ =+ =− +⇒ =−+ =+ = Thử lại thấy đúng.Vậy hàm số cần tìm là: ( )( )24 1.5 1x xf xx x− +=−Ví dụ 4. (Áo 1996) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện( ) ( )2 41 2 2 ,x f x f x x x+ − = − ∀ ∪ ¡GiảiThay x bởi 1 x− ta được( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 41 1 2 1 1x f x f x x x− − + = − − −Như vậy ta có hệ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 42 41 2 21 1 2 1 1x f x f x xx f x f x x x+ − = −− − + = − − −Ta có ( ) ( )2 21 1D x x x x= − − − + và ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1xD x x x x x= − − − − +. Vậy ( ). ,xD f x D x= ∀ ∈¡. Từ đó ta có nghiệm của bài toán là( )24 21 : ,:2 :2x x a x bf x c x aa a a b− ≠ ≠= ∈ =− − =¡(c là hằng số tùy ý),Với a, b là nghiệm của phương trình 21 0x x− − =Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụNhận xét: bài toán trên được dùng một lần nữa trong kì thi VMO 2000, bảng B.Ví dụ 5. Tìm tất các các hàm số :f →¡ ¡thỏa mãn điều kiện( ) ( ) ( )2 cos , ,f x y f x y f x y x y+ + − = ∀ ∈¡Hint: 1. Thế2yπ→1. Thế2y yπ→ +2. Thế 0x →Đáp số: ( ) ( )cos sin ,f x a x b x a b= + ∈¡Ví dụ 6. :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) ( ), ,f xy x y f xy f x f y x y+ + = + + ∈¡. Chứng minh rằng:( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡Hint:1. Tính ( )0f2. Thế 1y = −. Chứng minh flà hàm số3. Thế ( ) ( )1 2 1 2 1y f x f x= ⇒ + = +4. Tính ( )( )2 1f u v uv+ + +theo (3) và theo giả thiết để suy ra ( ) ( ) ( )2 2f uv u f uv f u+ = +5. Cho 1,2 2yv x= − →và ,2u y uv x→ → để suy ra điều phải chứng minhVí dụ 7. Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 01 , , , , 0,0 ; 0f x xf x xf x f y f x y x y x y x y= ∀ ≠+ = + + ∀ ∈ ≠ + ≠¡Hint:1. Tính ( ) ( )0 , 1f f −2. Tính 1a + với ( )1 11 11 1xa f f f xx x+ = = = + ÷ ÷+ + theo cả hai điều kiện.Đáp số: ( )1f x x= +Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụNhận xét: Thủ thuật này áp dụng cho một lớp các bài toán gần tuyến tínhVí dụ 8. Tìm tất cả các hàm số *:f →¡ ¡thỏa mãn ( )112f = và( ) ( ) ( )3 3, ,f xy f x f f y f x yy x+ = + ∀ ∈ ÷ ÷ ¡Hint:1. Tính ( )3f2. Thế 3y →Đáp số: ( )12f x =Ví dụ 9. Tìm tất các các hàm số *:f →¡ ¡thỏa mãn điều kiện:( )*12 3 ,f z f x xy + = ∀ ∈ ÷ ¡Hint: Thế 1xx→Đáp số: ( )2f x xx= −Ví dụ 10. Tìm tất cả các hàm số { }: \ 0,1f →¡ ¡thỏa mãn điều kiện:( ) { }12 , \ 0,1xf x f x xx− + = ∀ ∈ ÷ ¡Hint:Thế 1 1,1xx xx x− −→ →−Đáp số: ( )1 11xf x xx x−= + −−Luyện tập:2. Tìm tất cả các hàm số :f+ +→¤ ¤thỏa mãn điều kiện:( ) ( )1 1,f x f x x++ = + ∀ ∈¤ và ( )( )3 3,f x f x x+= ∀ ∈¤Hint:1. Quy nạp ( ) ( ), ,f x n f x n x++ = + ∀ ∈ ∀∈¤ ¥Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ2. 2. Với pq+∈¤, tính 32pf qq ÷+ ÷ ÷ theo hai cách.Đáp số:( ),f x x x+= ∀ ∈¤Ví dụ 11. (VMO 2002). Hãy tìm tất cảc các hàm số ( )f x xác định trên tấp số thực¡ và thỏa mãn hệ thức( )( )( )( )20022001. . , ,f y f x f x y y f x x y− = − − ∀ ∈¡(1)Giảia. Thế ( )y f x=vào (1) ta được( ) ( )( )( )( )220020 202. ,f f x f x f x x= − − ∀ ∈¡(2)b. Lại thay 2002y x=vào (1) thì( )( )( ) ( )2002 20020 2001. . ,f x f x f x f x x− = − ∀ ∈¡(3)Lấy (2) cộng với (3) ta được( ) ( )( )20020,f x f x x x+ = ∀ ∈¡Từ đây suy ra với mỗi giá trị x∈¡ thì ta có hoặc là ( )0f x = hoặc là ( )2002f x x= −. Ta sẽ chỉ ra rằng để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì bắt buộc phải có đồng nhất( )0,f x x≡ ∀ ∈¡ hoặc ( )2002,f x x x≡ − ∀ ∈¡.Thật vậy, vì ( )0 0f =trong cả hai hàm số trên, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại 0a≠ sao cho ( )0f a = và tồn tại 0b> sao cho ( )2002f b b= −(vì chỉ cần thay 0x=vào quan hệ (1) ta nhận được hàm flà hàm chẵn). Khi đó thế x a= và y b= − vào (1) ta được( )( )2002f b f a b− = +Vậy ta nhận được dãy quan hệ sau( )( )( )( )( ) ( )()20022002002 20022002 2002 200200 0 0bf bf bf a ba b a b b2≠ −== −= +≠=− + − + < −Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụBằng cách thử lại quan hệ hàm ban đầu ta kết luận chỉ có hàm số ( )0,f x x≡ ∀ ∈¡thỏa mãn yêu cầu bài toán.Ví dụ 12. (Hàn Quốc 2003) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡thỏa mãn:( )( )( ) ( ) ( )( ), ,f x f y f x xf y f f y x y− = + + ∀ ∈¡(4)GiảiNhận thấy hàm ( )0f x ≡ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Xét trường hợp ( )0f x ≠a. Thế ( )x f y= vào (4) ta được( ) ( ) ( )( )2200 22 2fxf f z z f x= + → = − +.Hay( )( )( ) ( )201 2f x ff f x = − +.b. Thế ( )x f z=, với z là một số thuộc ¡ thì ta được( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )f f z f y f f z f z f y f f y− = + +.Với lưu ý là( )( )( ) ( )202 2f y ff f y = − + và ( )( )( ) ( )202 2f z ff f z = − +Thay vào quan hệ hàm ở trên ta được ( ) ( )( )( ) ( )( )( )202f z f yf f z f y f−− = − +. (5)c. Tiếp theo ta chứng tỏ tập ( ) ( ){ }| ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡. Do ( )0f x ≠ nên tồn tại một giá trị 0y sao cho ( )00f y a= ≠. Khi đó từ quan hệ (4) ta có( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x a f x xa f a f x a f x ax fa− = + + → − − = +.Vì vế phải là hàm bậc nhấ cả X nên xa fa+có tập giá trị là toàn bộ ¡. Do đó hiệu ( ) ( )f x a f x− − cũng có tập giá trị là toàn bộ ¡, khi x∈¡. Mà ( ) ( ){ }( ) ( ){ }| , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈ =¡ ¡ ¡,Do đó ( ) ( ){ }| ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡. Vậy từ quan hệ (5) ta thu được( ) ( )20 ,2xf x f x= − + ∀ ∈¡Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụMặt khác ta lại có ( ) ( ) ( )20 ,2xf x f x T f= − + ∀ ∈Nên ( )0 0f =. Thử lại thấy hàm số ( )2,2xf x x= − ∀ ∈¡thỏa mãn hệ hàm.Kết luận: Có hai hàm số thỏa mãn là ( )2,2xf x x= − ∀ ∈¡ hoặc .Nhận xét: Bài toán trên lấy ý tưởng từ bài thi IMO 1996: Tìm tất cá các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn( )( )( )( )( ) ( )1, ,f x f y f f y xf y f x x y− = + + − ∀ ∈¡.Đáp số là ( )21,2xf x x= − + ∀ ∈¡Ví dụ 13. (Iran 1999) Xác định các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn( )( )( )( )24 , ,f f x y f x y yf x x y+ = − + ∀ ∈¡Giảia. Thế 2y x=ta được( )( )( ) ( )2 20 4 ,f f x x f x f x x+ = + ∀ ∈¡b. Thế( )y f x= − ta được( ) ( )( )( )( )220 4 ,f f f x x f x x= + − ∀ ∈¡Cộng hai phương trình trên ta được( ) ( )( )24 0,f x f x x x− = ∀ ∈¡.Từ đây ta thấy vỡi mỗi x∈¡thì hoặc là ( )0f x ≡ hoặc là ( )2f x x=. Ta chứng minh nếu f thỏa mãn yêu cầu bài toán thì f phải đồng nhất với hai hàm số trên. Nhận thấy ( )0 0f =, từ đó thay 0x= ta được ( ) ( ),f y f y y= − ∀ ∈¡, hay f là hàm chẵn. Giả sử tồn tại 0, 0a b≠ ≠ sao cho ( ) ( )20,f a f b b= = −, khi đó thay ,x a y b= = − ta được( )( )( )( )2 2.f b f a b f b f a b− = + → = +Từ đó ta có quan hệ sau( )( )( )( ) ( )()222 22 2 200 (0 0)bf bf bf a ba b a a b b≠ −== −= +≠=− + − + < −Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụDo đó xảy ra điều mâu thuẫn. Thử lại thấy hàm số ( )0f x ≡ thỏa mãn yêu cầu.Nhận xét:1. Rõ ràng bài toán VMO 2002 có ý tưởng giống bài toán này.2. Ngoài phép thế như trên thì bài toán này ta cũng có thể thực hiện những phép thế khác nhau như:a. Thế ( )( )21.2y x f x= −b. Thế 0y = để ( )( )( )2f f x f x=, sau đó thế ( )2y x f x= −.c. Thế ( )y x f x= −và sau đó là 2y x x= −.Ví dụ 14. Tìm hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện:( )( )( ) ( )2 , ,f x f y f x x f y x y− = + + ∀ ∈¡. (6) GiảiNhận thấy hàm ( )0f x ≡không thỏa mãn yêu cầu. Xét ( )0f x ≠.a. Thay x bởi ( )f y vào (6) ta được ( )( )( )( )02ff f y f y= − +b. Lại thay xbởi ( )f x ta được( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )20220f f x f y f f x f x f yff x f x f yf x f y f− = + + = − + + + ÷ = − − +Tuy nhiên việc chứng minh tập ( ) ( ){ }| ,f x f y x y− ∈¡có tập giá trị là ¡chưa thực hiện được.c. Từ đây ta có( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )222 2 02 2 0 .f f x f y f f x f y f yf f x f y f x f y f yf x f y f f xf x f y f− = − −= − + − += − − + += − − +Ta sẽ chứng minh tập ( ) ( ){ }2 | ,f x f y x y− ∈¡ bằng ¡. Thật vạy tồn tại giá trị 0y ∈¡sao cho ( )00f y a= ≠. Khi đó thay 0y y= vào (6) ta có ( ) ( )2 ,f x a f x x a x− − = + ∀ ∈¡Mà khi x∈¡thif x a+ có tập giá trị là ¡. Chứng tỏ tập ( ) ( ){ }2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡. Mà ( ) ( ){ }( ) ( ){ }2 | , |f x f y x y f x a f x x− ∈ ⊃ − − ∈¡ ¡ nên ( ) ( ){ }2 | ,f x f y x y− ∈ =¡ ¡. Do đó từ (c) ta kết luận ( ),f x x x= − ∀ ∈¡. Thay vào (6) ta được ( )0 0f =Kết luận: Hàm số ( ),f x x x= − ∀ ∈¡thỏa mãn yêu cầu bài toán.Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn ThụVí dụ 15. (Belarus 1995) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn:( )( )( ) ( ) ( )f f x y f x y f x f y+ = + +GiảiRõ ràng f khác hằng số.a. a. 0y = vào điều kiện bài toán ta được( )( )( )( )( )1 ,f f x f o f x x= + ∀ ∈ ¡b. Trong đẳng thức trên thay xbởi x y+ thì( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )1 0 ,f f x y f f x y f x y f x f y xy+ + = + = + + −Đơn giản ta được( ) ( ) ( ) ( )0 .f f x y f x f y xy+ = −(7)c. Thay 1y = vào (7) thì ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1f x f x f x+ = −.d. Lại thay 1y = −vào xbởi 1x + vào (7) ta có( ) ( ) ( ) ( )0 . 1 . 1 1f f x f x f x= + − + +.Kết hợp hai đẳng thức trên ta được( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )20 1 1 0 1 0f f f f x f f f x f− − − = − − +.Nếu ( )( )( ) ( )20 1 1 0f f f− − =, thì thay 0x =vào phương trình cuối cùng ta được ( )0 0f =, nên theo (7) thì ( ) ( )f x f y xy=. Khi đó ( ) ( )1 ,f x f x x= ∀ ∈¡, điều này dẫn đến ( )( )( ) ( )20 1 1 1f f f− − = −, mâu thuẫn. Vậy ( )( )( ) ( )20 1 1 0f f f− − ≠, suy ra ( )f x là một đa thức bậc nhất nên có dạng ( )f x ax b= +. Thay vào quan hệ hàm ban đầu suy ra 1, 0a b= =. Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( ),f x x x= ∀ ∈¡.Nhận xét: Nếu chịu khó tính ta sẽ tính được ( )0 0f = bằng cách thế các biến ,x y bởi hai số 0 và 1.Ví dụ 16. (VMP 2005) Hãy xác định tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện( )( )( ) ( ) ( ) ( ), ,f f x y f x f y f x f y xy x y− = − + − ∀ ∈¡(8)Giảia. Thế 0x y= = vào (8) ta được( )( )( )( )20 0f f f=b. Thế x y= vào (8) và sử dụng kết quả trên thì( )( )( )( )2 220 ,f x f x x= + ∀ ∈¡Suy ra ( )( )( )( )( ) ( )2 2,f x f x f x f x x= − → = − ∀ ∈ ¡.c. Thế 0y = vào (8) được( )( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 ,f f x f f x f x f x= − + ∀ ∈¡(*)THế 0,x y x= = − vào (8) đượcTổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ( )( )( ) ( ) ( )0 ,f f x f f x f x a x= − + − − ∀ ∈¡.Từ hai đằng thức trên ta có( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )0 2 0 ,f f x f x f x f x f x− − + − + = ∀ ∈ ¡. (9)Giả sử tồn tại 00x ≠ sao cho ( ) ( )0 0f x f x= −, thì thế 0x x= vào (9) ta có ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )02 202 22 200000 0 00f x ff x ff x fx=→ =→ + = +→ =Suy ra mâu thuẫnVậy ( ) ( ),f x f x x= − ∀ ∈¡, từ điều này kiết hợp vs (9) ta có( ) ( )( )0 1 0,f f x x− = ∀ ∈¡Từ đây suy ra ( )0 0f =, vì nếu ngược lại thì ( )1, 0f x x= ∀ ≠, trái với điều kiện f là hàm lẽ. Từ đây ta nhận được quan hệ quen thuộc( ) ( )( )( )0 0 0 0 0x f x f f x f x x= = − = − =Vô lý. Vậy chứng tỏ ( ),f x x x= − ∀ ∈¡. Thử lại thấy hàm này thỏa mãn bài toán.Nhận xét: Bài toán trên cho kết quả là hàm chẵn ( )f x x= −. Nếu vẫn giữa nguyên vế phải và để nhận được hàm lẽ ( )f x x=, ta sửa lại dữ kiện trong vế trái như trong ví dụ sauVí dụ 17. Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiện( )( )( ) ( ) ( ) ( ), ,f f x y f x f y f x f y xy x y− = − + − ∀ ∈¡Giảia. Thế 0y = ta được( )( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 ,f f x f x f f f x x= − + ∀ ∈¡(10)b. Thế ( )y f x= và sử dụng kết quả trên, ta được( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 20 . *0 0 0 . ,f f x f f x f x f x xf xf xf f x f x f f x xf x= − + −= − + + −Hay( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 22 0 . 0 . 0,f f x f x f f x xf x x− + + − = ∀ ∈ ¡.c. Thế 0x =vào đẳng thức trên ta được( )( )( )( )( )2 20 0 0 0 0f f f− = → = hoặc ( )0 1f =.d. Nếu ( )0 0f = thì thay vào (10) ta có ( )( )( ),f f x f x x= ¬ ∈¡, thay kết quả này vào trong (*) ta có ( )f x x=.Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụe. Nếu ( )0 1f =thay vào (10) ta có ( )( )( )2 1f f x f x= −, thay vào trong (*) ta có ( )112f x x= +.Kết luận: thay vào ta thấy chỉ có hàm số ( ),f x x x= ∀ ∈¡ là thỏa mãn yêu cầu.Ví dụ 18. (AMM,E2176). Tìm tất cả các hàm số :f →¤ ¤ thỏa mãn điều kiện( )2 2f = và ( ) ( )( ) ( ),f x f yx yf x yx y f x f y+ += ∀ ≠ ÷− − GiảiTa sẽ chứng minh ( )f x x= là nghiệm duy nhất của bài toán dựa vào một chuỗi các sự kiến sau. Trước tiên nhận thấy fkhông thể là hàm hằng.a. Tính ( ) ( )0 , 1f f. Thay 0y = ta nhận được( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )01 1 1 0 1 1 ,0f x ff f f x f f xf x f+= → − = + ∀ ∈−¤.Suy ra ( ) ( )1 1, 0 0f f= =.b. Hàm f là hàm lẻ. Thay y x= − ta có( ) ( )( ) ( )( )( )111 1f x f cx f ccff x f cx c f c+ ++ = = ÷− − − .Suy ra ( ) ( ) ( ).f cx f c f x=, lấy ,pc q xq= = thì ta được ( )( )f ppfq f q = ÷ Ví dụ 19. Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn( )( )( )( )( )2222 , ,f x y f x xf y y x y− = − + ∀ ∈¡.GiảiThay 0x y= = thì ( )( )( )( )( )20 0 0 0f f f= → = hoặc ( )0 1f =1. Nếu ( )0 0f =, thì thay x y= vào điều kiện ban đầu ta được( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 220 2 ,f f x xf x x f x x f x x x= − + = − → = ∀ ∈¡.Nhận thấy hàm số này thỏa mãn.2. Nếu ( )0 1f = thì lại vẫn thay 0x y= = ta nhận được, với mỗi x∈¡ thì hoặc là ( )1f x x= + hoặc là ( )1f x x= −. Giả sử tồn tại giá trị a sao cho ( )1f a a= −. Khi đó thay , 0x a y= = ta được( )2 24 1f a a a= − +Nhưng ta lại có hoặc là ( )2 21f a a= + hoặc ( )2 21f a a= −. Do đó ta phải có hoặc là 2 24 1 1a a a− + = +hoặc 2 24 1 1a a a+ = −, tức 0a= hoặc 12a =. Tuy nhiên kiểm tra đều không thỏa.Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu là ( ),f x x x= ∀ ∈¡hoặc là ( )1,f x x x= + ∀ ∈¡.Ví dụ 20. (THTT T9/361) Tìm tất cả các hàm số :f →¡ ¡ thỏa mãn điều kiệnTổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ( )( )( )()( )( )23 32 3 , ,f x y y f x y f x f y x y− + + = + ∀ ∈¡.Giảia. Thay 3y x= ta có( ) ( )( )()( )( )23 6 30 2 3 ,f x f x x f x f x x+ + = + ∀ ∈¡b. Thay ( )y f x= − ta được( )( )( ) ( )( )( )( )()( )2 232 3 0 ,f x f x f x f x f x f x+ − + = ∀ ∈¡.Từ hai đẳng thức trên ta được( )( )()( )( )2 33 62 3 8 , .x f x x f x x+ = ∀ ∈¡Do đó( )( )( )( )()( )( )( )( )()( )( )()( )( )( )( )( )( )()( )( )( )2 23 63 2 23 3 9323 3 3 3 60 4 34 4 . .154 2 .4 16f x x f x xf x f x x f x x xxf x x f x x f x x f x x f x x= − += − + − = − + + = − + + ÷ ÷ ÷ Chú ý rằng ( )236152 04 16xf x x + + = ÷ thì ( )0, 0 0x f= =. Bởi vậy trong mọi trường hợp ta đều có ( )3f x x=. Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn bài toán.BÀI TẬP1. Tìm { }: \ 1f →¡ ¡thỏa mãn: 211 1f x xx + = + ∀ ∈ ÷ ¡.2. Tìm : \afb − → ¡ ¡thỏa mãn:241b ax x af xbx a x b− = ∀ ≠ − ÷+ + (a,b là hằng số cho trước và 0ab≠).3. Tìm :f →¡ ¡thỏa mãn:( )( )22002 0 2002f x f x x− = ∀ ∈¡.4. Tìm { }: \ 0f →¡ ¡thỏa mãn:( ) { }1 11 \ 0;12 1f x f xx x + = ∀ ∈ ÷− ¡.5. Tìm { }: \ 1;0f ± →¡ ¡thỏa mãn:( )( ){ }164 \ 11xf x f x xx− = ∀ ∈ − ÷+ ¡.6. Tìm 2: \3f → ¡ ¡thỏa mãn:( )2 22 9963 2 3xf x f x xx + = ∀ ≠ ÷− .7. Tìm { }: \ 1f ± →¡ ¡thỏa mãn:3 311 1x xf f x xx x− + + = ∀ ≠ ± ÷ ÷+ − .8. Tìm :f →¡ ¡thỏa mãn:( ) ( )22 1f x f x x x+ − = ∀ ∈¡.Tổ: Toán Trường: THPT chuyên Hoàng Văn Thụ9. Tìm :f →¡ ¡thỏa mãn: ( )2008 *1f x f x xx + = ∀ ∈ ÷ ¡.10. Tìm 1: \3f ± → ¡ ¡thỏa mãn:( )1 11 3 3xf x f x xx− + = ∀ ≠ ÷− .11. Tìm :f →¡ ¡thỏa mãn:( ) ( )20af x f x x a aa x + = ∀ ≠ > ÷− .12. Tìm { }, : \ 1f g →¡ ¡thỏa mãn:( ) ( )2 1 2 2 1 211 1f x g x xxx xf g xx x+ + + =∀ ≠ + = ÷ ÷− − .PHỤ LỤCTài liệu tham khảo: Internet. Page 2
|
