Thiết diện là một dạng toán khó và thường gặp trong chương trình Toán THPT. Vậy thiết diện là gì? Công thức tính thiết diện Cách xác định thiết diện của hình hộp như nào? Lý thuyết cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc? Các dạng bài tập về diện tích thiết diện?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề thiết diện là gì, cùng tìm hiểu nhé!
Nội dung bài viết
- Định nghĩa thiết diện là gì?
- Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và vuông góc
- Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song
- Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc
- Diện tích thiết diện là gì?
- Cách tính thiết diện?
- Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt
- Cách xác định thiết diện của hình trụ
- Định nghĩa hình trụ là gì?
- Ví dụ thiết diện hình trụ
- Cách xác định thiết diện của hình hộp
- Cách tìm thiết diện của hình lập phương
- Cách xác định thiết diện của hình trụ
- Một số dạng bài tập về diện tích thiết diện
Định nghĩa thiết diện là gì?
Cho hình 𝕋 và mặt phẳng [𝑃], phần mặt phẳng của [𝑃] nằm trong 𝕋 được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do [𝑃] cắt một số mặt của 𝕋 được gọi là thiết diện.
Theo cách khác, thiết diện được định nghĩa là các đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng và hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó chính là thiết diện [hay còn gọi là mặt cắt] của mặt phẳng với hình chóp đó.
Ví dụ 1: Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷. Lấy 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐴. Khi đó mặt phẳng [𝑃] đi qua 𝑀 và song song với mặt phẳng đáy sẽ cắt hình chóp. Thiết diện là tứ giác 𝑀𝑁𝑃𝑄 với 𝑁,𝑃,𝑄 lần lượt là trung điểm 𝑆𝐵,𝑆𝐶,𝑆𝐷.
Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song và vuông góc
Từ định nghĩa thiết diện là gì, chúng ta cùng nhau tìm hiểu về cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc. Nhìn chung, để tìm thiết diện tạo bởi hình 𝕋 và mặt phẳng [𝑃] ta làm như sau :
- Bước 1: Tìm giao điểm của mặt phẳng [𝑃] với các cạnh của hình 𝕋. Ta có thể tìm giao điểm của [𝑃] với các mặt của hình 𝕋 rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.
- Bước 2: Nối các giao điểm tìm được ở trên. Hình đa diện được tạo bởi các đa diện đó chính là thiết diện cần tìm.
Chú ý: Để tìm thiết diện chúng ta sẽ cần sử dụng một số quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
- Cho đường thẳng 𝑑∈[𝑃]. Mặt phẳng [𝑄] song song với 𝑑 và cắt [𝑃] tại giao tuyến là đường thẳng 𝑑′. Khi đó 𝑑||𝑑′
- Cho hai mặt phẳng [𝑃],[𝑄] thỏa mãn : {[𝑃]⊥[𝑄][𝑃]∩[𝑄]=𝑑. Khi đó nếu {𝑑′∈[𝑃]𝑑′⊥𝑑⇒𝑑′⊥[𝑄]
Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song
Bài toán xác định thiết diện song song với đường thẳng.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình bình hành. Gọi 𝑀 là một điểm bất kì nằm trên 𝑆𝐴. Mặt phẳng [𝑃] đi qua 𝑀 và song song với 𝐴𝐵 và 𝑆𝐶. Xác định thiết diện của 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 cắt bởi [𝑃]
Cách giải:
Vì [𝑃]||𝐴𝐵 và 𝐴𝐵∈[𝑆𝐴𝐵] nên
⇒ giao tuyến của [𝑃] và [𝑆𝐴𝐵] song song với 𝐴𝐵
Trong mặt phẳng [𝑆𝐴𝐵] dựng 𝑀𝑁 song song với 𝐴𝐵. Khi đó [𝑃]∩𝑆𝐵=𝑁
Ta có:
{[𝑃]||𝑆𝐶𝑆𝐶∈[𝑆𝐵𝐶]⇒𝑆𝐶||[[𝑃]∩[𝑆𝐵𝐶]]
Như vậy : [𝑃]∩𝐵𝐶=𝑃 với 𝑁𝑃||𝑆𝐶
Tương tự:
{[𝑃]||𝐵𝐶𝐵𝐶∈[𝐴𝐵𝐶𝐷]⇒𝑆𝐶||[[𝑃]∩[𝐴𝐵𝐶𝐷]]
Như vậy: [𝑃]∩𝐴𝐷=𝑄 với 𝑃𝑄||𝐴𝐵
Vậy 𝑀𝑁𝑃𝑄 là thiết diện cần tìm.
Cách xác định thiết diện trong quan hệ vuông góc
Từ khái niệm thiết diện là gì, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu qua bài toán xác định thiết diện vuông góc với đường thẳng.
Phương pháp:
Cho mặt phẳng [α] cùng với đường thẳng a không vuông góc với [α]. Hãy xác định mặt phẳng [β] chứa a và vuông góc với [α].
Cách giải:
- Đầu tiên ta cần chọn một điểm A∈a
- Tiếp theo dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với [α]. Khi đó mp [a,b] chính là mặt phẳng [β].
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, bên cạnh đó SA ⊥ [ABCD]. Gọi [α] là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với [SCD]. Vậy [α] cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.
Diện tích thiết diện là gì?
Diện tích thiết diện là gì? Đây hẳn là câu hỏi được rất nhiều học sinh quan tâm. Diện tích thiết diện theo định nghĩa chính là diện tích phần mặt cắt [thiết diện] được tạo bởi mặt phẳng [𝑃] và hình 𝕋 như đã nói ở trên.
Cách tính thiết diện?
Để tính được diện tích thiết diện thì ta cần sử dụng một số công thức tính diện tích hình phẳng như hình tam giác, hình chữ nhật ,… Sau đó ta có thể chia nhỏ thiết diện thành các hình đơn giản trên để tính toán rồi sau đó cộng lại.
Ví dụ 4:
Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông tâm 𝑂 và 𝐴𝐵=𝑎. Biết rằng 𝑆𝐴⊥[𝐴𝐵𝐶𝐷] và 𝑆𝐴=𝑎2‾√. Mặt phẳng [𝑃] đi qua 𝐵 và vuông góc vuoonlt SC [/latex]. Tính diện tích thiết diện của hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 cắt bởi mặt phẳng [𝑃]
Cách giải:
Ta có:
𝑆𝐴⊥[𝐴𝐵𝐶𝐷]⇒𝑆𝐴⊥𝐵𝐷
𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 [ do là hai đường chéo của hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 ]
⇒𝐵𝐷⊥[𝑆𝐴𝐶]
⇒𝐵𝐷⊥𝑆𝐶[1]
Trong mặt phẳng [𝑆𝐴𝐶] kẻ 𝑂𝐸⊥𝑆𝐶[2]
Từ [1][2]⇒[𝐵𝐸𝐷]⊥𝑆𝐶
Vậy mặt phẳng [𝐵𝐸𝐷] chính là mặt phẳng [𝑃] và thiết diện cần tìm là tam giác 𝐵𝐸𝐷
Vì hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 có độ dài cạnh 𝐴𝐵=𝑎 nên ⇒ đường chéo 𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝑎2‾√[3]
Trong mặt phẳng [𝑆𝐴𝐶] xét tam giác 𝑆𝐴𝐶 vuông tại 𝐴.
⇒𝑆𝐶=𝑆𝐴2+𝐴𝐶2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=2𝑎
𝑂𝐶=𝐴𝐶2=𝑎2√
Xét Δ𝑆𝐴𝐶 và Δ𝑂𝐸𝐶 có :
𝐴ˆ=𝐸ˆ=90∘
𝐶ˆ chung
⇒Δ𝑆𝐴𝐶∼Δ𝑂𝐸𝐶
Vậy ta có :
𝑂𝐸𝑆𝐴=𝑂𝐶𝑆𝐶⇒𝑂𝐸=𝑂𝐶.𝑆𝐴𝑆𝐶=𝑎2√.𝑎2√2𝑎=𝑎2[4]
Vì 𝐵𝐷⊥[𝑆𝐴𝐶 nên 𝐵𝐷⊥𝐸𝑂[5]
Từ [3][4][5] ta có :
𝑆𝐵𝐸𝐷=𝐵𝐷.𝐸𝑂2=𝑎2√.𝑎22=𝑎222√
Vậy diện tích thiết diện là 𝑎222√ đơn vị diện tích
Công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt
Các ví dụ trên chúng ta đã cùng nói về khái niệm thiết diện là gì, kiến thức thiết diện của hình chóp. Bây giờ chúng ta sẽ nói đến thiết diện của một số hình khối khác.
Cách xác định thiết diện của hình trụ
Định nghĩa hình trụ là gì?
Khi quay một hình chữ nhật quanh một trục cố định, ta được một hình trụ với hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.
Ví dụ thiết diện hình trụ
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là 𝑟 ] bởi một mặt phẳng [𝛼] vuông góc với trục Δ [ song song với hai mặt đáy ] thì ta được thiết diện là đường tròn có tâm nằm trên Δ và có bán kính bằng 𝑟
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay [có bán kính là 𝑟 ] bởi một mặt phẳng [𝛼] không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh thì ta được thiết diện là một đường Elip có trục nhỏ bằng 2𝑟 và trục lớn bằng 2𝑟sin𝜙 với 𝜙 là góc giữa trục Δ và mặt phẳng [𝛼] và 0