1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.
Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau
a] [x - 1]/[x + 2] + 1 = 1/[x - 2].
b] [x - 1]/[1 - 2x] = 1.
Hướng dẫn:
a] Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ - 2 và x - 2 ≠ 0 khi x ≠ 2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình [x - 1]/[x + 2] + 1 = 1/[x - 2] là x ≠ ± 2.
b] Ta thấy 1 - 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2.
Do đó ĐKXĐ của phương trình [x - 1]/[1 - 2x] = 1 là x ≠ 1/2.
2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ta thường qua các bước:
Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình tìm được.
Bước 4: Kết luận.
Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Hướng dẫn:
Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu
Ta có:
⇒ 2[x - 2][x + 2] = x[2x + 3]
Bước 3: Giải phương trình
Ta có: 2[x - 2][x + 2] = x[2x + 3] ⇔ 2[x2 - 4] = 2x2 + 3x
⇔ 2x2 - 8 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = - 8 ⇔ x = - 8/3.
Bước 4: Kết luận
So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = - 8/3 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 8/3}.
Ví dụ 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
+ ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5.
+ Ta có:
⇒ [2x + 5][x + 5] - 2x2 = 0
⇔ 2x2 + 10x + 5x + 25 - 2x2 = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3.
+ So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = -5/3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-5/3}.
B. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Phương pháp: Điều kiện xác định [ĐKXĐ] của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp:
+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.
+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa nhận được.
+ Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ rồi viết tập nghiệm.
Ngoài ra, ta sử dụng các hằng đẳng thức và các quy tắc đổi dấu, phá ngoặc… để biến đổi.
Xem thêm Giải Toán 8: Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
1. ĐIều kiện xác định
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm điều kiện xác định của một phương trình
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, các giá trị của ẩn mà tại đó ít nhất một mẫu thức trong phương trình nhận giá trị bằng 0, chắc chắn không thể là nghiệm của phương trình. Để ghi nhớ điều đó, người ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định [viết tắt là ĐKXĐ] của phương trình.
3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận.
Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị nào thõa mãn điều kiện xác định thì đó chính là nghiệm của phương trình.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 27: trang 22 sgk Toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a. \[\frac{2x-5}{x+5}=3\]
b. \[\frac{x^2-6}{x}=x+\frac{3}{2}\]
c. \[\frac{[x^2+2x]-[3x+6]}{x-3}=0\]
d. \[\frac{5}{3x+2}=2x-1\]
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 28: trang22 sgk Toán 8 tập 2
Giải các phương trình:
a. \[\frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\]
b. \[\frac{5x}{2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\]
c. \[x+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}\]
d. \[\frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}=2\]
=> Xem hướng dẫn giải
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Luyện tập [trang 22-23] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lời giải
Giá trị x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.
Vì tại x = 1 thì
Lời giải
a] Phương trình
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ ±1.
b] x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2.
Lời giải
Suy ra x[x + 1] = [x – 1][x + 4]
Ta có:
x[x + 1] = [x – 1][x + 4]
⇔ x2 + x = x2 + 4x – x – 4
⇔ x = 3x – 4
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2 [thỏa mãn ĐKXĐ]
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {2}
Suy ra 3 = 2x – 1 – x[x – 2]
⇔ 3 = 2x – 1-[x2 – 2x]
⇔ 3 = 2x – 1 – x2 + 2x
⇔ 3 = – 1 – x2
⇔ x2 = -4[vô nghiệm]
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = ∅
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Lời giải:
a] Điều kiện xác định: x ≠ -5.
2x – 5 = 3[x + 5]
⇔ 2x – 5 = 3x + 15
⇔ -5 – 15 = 3x – 2x
⇔ x = -20 [thỏa mãn điều kiện xác định].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.
b] Điều kiện xác định: x ≠ 0.
2[x2 – 6] = 2x2 + 3x
⇔ 2x2 – 12 – 2x2 – 3x = 0
⇔ 3x = 12
⇔ x = 4 [Thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}.
c] Điều kiện xác định: x ≠ 3.
⇔ x2 + 2x – [3x + 6] = 0
⇔ x[x + 2] – 3[x + 2] = 0
⇔ [x – 3][x + 2] = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 2 = 0
+ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 [Không thỏa mãn đkxđ]
+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 [Thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.
d] Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.
⇔ 5 = [2x – 1][3x + 2]
⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5
⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 = 5
⇔ 6x2 + x – 7 = 0.
⇔ 6x2 – 6x + 7x – 7 = 0
[Tách để phân tích vế trái thành nhân tử]
⇔ 6x[x – 1] + 7[x – 1] = 0
⇔ [6x + 7][x – 1] = 0
⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x – 1 = 0
+ 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = – 7 ⇔ x = -7/6 [thỏa mãn đkxđ]
+ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 [thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Lời giải:
a] Điều kiện xác định: x ≠ 1.
⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1
⇔ 3x – 2 = 1
⇔ 3x = 3
⇔ x = 1 [không thỏa mãn điều kiện xác định].
Vậy phương trình vô nghiệm.
b] Điều kiện xác định: x ≠ -1.
⇔ 5x + 2x + 2 = -12
⇔ 7x + 2 = -12
⇔ 7x = -14
⇔ x = -2 [thỏa mãn đkxđ]
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}
c] Điều kiện xác định: x ≠ 0.
⇔ x3 + x = x4 + 1
⇔ x4 + 1 – x – x3 = 0
⇔ [x4 – x3] + [1 – x] = 0
⇔ x3[x – 1] – [x – 1] = 0
⇔ [x3 – 1][x – 1] = 0
⇔ [x – 1][x2 + x + 1][x – 1] = 0
⇔ x – 1 = 0 [vì x2 + x + 1 = [x + ½]2 + ¾ > 0 với mọi x].
⇔ x = 1 [thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.
d] Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.
⇔ x[x + 3] + [x + 1][x – 2] = 2.x[x + 1]
⇔ x[x + 3] + [x + 1][x – 2] – 2x[x + 1] = 0
⇔ x2 + 3x + x2 + x – 2x – 2 – [2x2 + 2x] = 0
⇔ x2 + x2 – 2x2 + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0
⇔ 0x – 2 = 0
Phương trình vô nghiệm.
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
Lời giải:
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Lời giải:
a] Điều kiện xác định: x ≠ 2.
⇔ 1 + 3[x – 2] = -[x – 3]
⇔ 1 + 3x – 6 = -x + 3
⇔ 3x + x = 3 + 6 – 1
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2 [không thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình vô nghiệm.
b] Điều kiện xác định: x ≠ -3.
⇔ 14x[x + 3] – 14x2 = 28x + 2[x + 3]
⇔ 14x2 + 42x – 14x2 = 28x + 2x + 6
⇔ 42x – 28x – 2x = 6
⇔ 12x = 6
⇔ x = 1/2.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1/2}.
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Lời giải:
a] + Tìm điều kiện xác định :
x2 + x + 1 = [x2 + x + ¼] + ¾ = [x + ½]2 + ¾ > 0 với mọi x ∈ R.
Do đó x2 + x + 1 ≠ 0 với mọi x ∈ R.
x3 – 1 ≠ 0 ⇔ [x – 1][x2 + x + 1] ≠ 0 ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 1.
+ Giải phương trình:
⇔ x2 + x + 1 – 3x2 = 2x[x – 1]
⇔ -2x2 + x + 1 = 2x2 – 2x
⇔ 4x2 – 3x – 1 = 0
⇔ 4x2 – 4x + x – 1 = 0
⇔ 4x[x – 1] + x – 1 = 0
⇔ [4x + 1][x – 1] = 0
⇔ 4x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
4x + 1 = 0 ⇔ 4x = -1 ⇔ x = -1/4 [thỏa mãn đkxđ]
x – 1 = 0 ⇔ x = 1 [không thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.
b] Điều kiện xác định: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3.
⇔ 3[x – 3] + 2[x – 2] = x – 1
⇔ 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1
⇔ 3x + 2x – x = 9 + 4 – 1
⇔ 4x = 12
⇔ x = 3 [không thỏa mãn điều kiện xác định]
Vậy phương trình vô nghiệm.
c] Điều kiện xác định: x ≠ -2.
⇔ x3 + x2 + 2x + 12 = 12
⇔ x3 + x2 + 2x = 0
⇔ x[x2 + x + 2] = 0
⇔ x = 0 [vì x2 + x + 2 > 0 với mọi x] [thỏa mãn đkxđ].
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.
d] Điều kiện xác định: x ≠ ±3; x ≠ -7/2.
⇔ 13[x + 3] + [x – 3][x + 3] = 6[2x + 7]
⇔ 13x + 39 + x2 – 9 = 12x + 42
⇔ x2 + x – 12 = 0
⇔ x2 +4x – 3x – 12 = 0
⇔ x[x + 4] – 3[x + 4] = 0
⇔ [x – 3][x + 4] = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 4 = 0
x – 3 = 0 ⇔ x = 3 [không thỏa mãn đkxđ]
x + 4 = 0 ⇔ x = -4 [thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Lời giải:
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Lời giải:
Biểu thức có giá trị bằng 2 thì: