Có bao nhiêu số nguyên [m ] thuộc [[ [ - 2020;2020] ] ] sao cho phương trình [[4^[[[[ [x - 1] ]]^2]]] - 4m[.2^[[x^2] - 2x]] + 3m - 2 = 0 ] có bốn nghiệm phân biệt?
Có bao nhiêu số nguyên \[m\] thuộc \[\left[ { - 2020;2020} \right]\] sao cho phương trình \[{4^{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\] có bốn nghiệm phân biệt?
Phương pháp giải
- Đặt ẩn phụ \[t = {2^{{x^2} - 2x}}\,\,\left[ {t \ge \dfrac{1}{2}} \right]\]. Đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn \[t\].
- Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn \[t\] phải có 2 nghiệm \[t\] phân biệt thỏa mãn \[t > \dfrac{1}{2}\].
- Giải hệ điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > \dfrac{1}{4}\\\left[ {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right]\left[ {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right] > 0\end{array} \right.\], sử dụng định lí Vi-ét: \[\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - \dfrac{b}{a}\\{t_1}{t_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\].