- LG a
- LG b
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
LG a
\[\tan x > x,\,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\];
Phương pháp giải:
Chứng minh rằng hàm số: \[f\left[ x \right] = \tan x - x\] đồng biến trên nửa khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = \tan x - x\]liên tục trên nửa khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]và có đạo hàm \[f'\left[ x \right] = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 \] trên khoảng \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
Vì \[0 < {\cos ^2}x < 1\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\] \[ \Rightarrow f'[x] > 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
Do đó hàm số \[f\] đồng biến trên nửa khoảng\[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
Từ đó: \[f\left[ x \right] > f\left[ 0 \right]=0,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
LG b
\[\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số \[f\left[ x \right] = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}\]liên tục trên nửa khoảng\[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\] và có đạo hàm \[f'\left[ x \right] = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2\] \[= {\tan ^2}x - {x^2} \] \[= \left[ {\tan x - x} \right]\left[ {\tan x + x} \right]\]
Ta có:
+] \[\tan x - x > 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] [câu a]
+] \[\tan x + x > 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] vì trong khoảng \[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\] thì \[\tan x\] và \[x\] đều dương.
Do đó \[f'\left[ x \right] > 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
Nên hàm số \[f\] đồng biến trên nửa khoảng \[\left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]và khi đó
\[f\left[ x \right] > f\left[ 0 \right] = 0\,\,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right] \]
\[\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left[ {0;{\pi \over 2}} \right]\]