Bài tập giải phương trình bậc 2

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
ax + bx + c = o,
trong đó X là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ^0.
g. Cách giải một vài dạng phương trình bậc hai
Dạng ax + bx = 0(c = 0)
Đưa về phương trình tích : x(ax + b) = 0.
Phương trình có nghiệm là : Xị =■ 0 và X2 = -— ■ a
Dạng ax2 + c = 0 (b = 0)
Đưa về phương trình : X =	.
a
Nếu —> 0 thì phương trình vô nghiêm, a
Nêu — <0 thì phương trình có nghiệm X =± a
2	,	z t	TIZZA
Dạng ax + bx + c = 0, với a, b, c khúc 0.
Đưa phương trình về dạng vế trái là một bình phương, vế phải là một hằng số.
Biến đổi vế trái :
-3x + 5x = 0 là một phương trình bậc hai với a = -3, b = 5, c = 0.
6x + 7 = 0 không phải là một phương trình bậc hai.
X - 9 = 0 là một phương trình bậc hai với a = 1, b = 0, c = -9.
X" - 2x + 1 = 0 không phải là một phương trình bậc hai.
-8x2 = 0 là một phương trình bậc hai với a = -8, b = 0, c = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình :
2x2 - 6x = 0 ;	b) 5x2 + 8x = 0.
Giải. a) 2x2 - 6x = 0 2x(x - 3) = 0 X = 0 hoặc X - 3 = 0
X = 0 hoặc X = 3.
Phương trình có hai nghiệm là X] = 0, x2 = 3.
5x2 + 8x = 0 x(5x + 8) = 0x = 0 hoặc 5x + 8 = 0
Q
» x = 0 hoặc 5x = -8 X - 0 hoặc X = -4.
5
8
Phương trình có hai nghiệm là : Xj = 0, x2 - —I.
Ví dụ 3. Giải phương trình :
-5x2+10 = 0;
2x2 + 4 = 0.
Giải, a) - 5x2 + 10 = 0 » 5x2 = 10 » X2 = 2 X = V2 hoặc X = - V2 . Phương trình có hai nghiệm : Xị = V2 , x2 = - V2 .
2x2 + 4 = 0-» 2x2 = - 4. Vì vế trái không âm còn vế phải âm nên không có giá trị nào thoả mãn phương trình này.
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình :
2x2 - 5x + 2 = 0 ;
2x2 + 4x + 3 = 0.
Giải, a) 2x2 - 5x + 2 = 0 » 2x2 - 5x = -2 » X2 X = -1
2
ư=-1+2í«fx_2ì .
16
-16 + 25
16
X--7	= —- X—- = . — hoặc X-—=-
16
16
5	5	3	..	1
 X —- = —hoặc X	» X = 2 hoặc X = —.
4	4	4	4	2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Xị = 2, x2 = -^ .
b) 2x2 + 4x + 3 = 0 2x2 + 4x = -3 X2 + 2x = ——
2
 X2 + 2x + 1 = -Ậ + 1 (x + l)2 = --7 .
2 2
Vi vế trái không âm, vê' phải âm nên phương trình vô nghiệm.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Trả lời :
5x2 + 3x - 4 = 0, với a = 5, b = 3, c = -4.
,,3 2	15 ,, ,.3	15
5	2	5	2
2x2 + (1 - 73 )x - (1 + 73 ) = 0, với a = 2, b = 1 - 73 , c = -(1 + 73)
2x2 - 2(m - l)x + m2 = 0, với a = 2, b = - 2(m - 1), c = m2.
Đáp số:
X = ±272 ;	b) X = ±2 ;
c) Vô nghiệm ;
7?
Xị = 0, x2 = —— ; e) X] = 0, x2 = 3.
Giải, a) X2 + 8x = -2 X2 + 8x + 16 = -2 + 16 (x + 4)2- = 14.
X2 + 2x = X2 + 2x + 1 = 4 + 1 (x + l)2 = 4.
3	3
\2
Giải. 2x2 + 5x + 2 = 0 2x2 + 5x = -2 X2 + — X = -1
-16 + 25
16
2 , o 5	(5Ỵ-_ , , 25	(	5
 X + 2,— X + — = -1 + 2— x + — 16 l 4
X + — I = --- X + — =	hoặc X + — =
16	4	V16	4
,53	,5	3	1
 X + — - — hoặc X + — = —- X = —- hoặc X = -2.
4	4	4	2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Xj = “, x2 = -2.
D. Bài tập luyện thêm
Giải phương trình :
b) 4x - 12x = 0 ; d) 12x2+ 1 =0.
3x2 + 9x = 0 ;
5x2 - 7 = 0 ;
Giải phương trình bàng cách đưa về phương trình có vế trái là một bình phương và vế phải là một hằng số :
a) X2 + 6x - 7 = 0 ;	b) 2x2 - 4x - 3 = 0 ;
3x2 + 6x + 4 = 0
Cho phương trình (m - 1 )x2 - 2(2m + 1 )x + 3m + 3 = 0.
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho là một phương trình bậc hai.
Giải phương trình khi m - 2 bằng cách đưa phương trình về dạng vế trái là một bình phương và vế phải là một hằng số.
Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm X - 1.
b) Xj = 0, x2 = 3 ;
d) Vô nghiệm.
> Hướng dẫn - Đáp số
Đáp số: a) Xị = 0, x2 =-3 ;
Giải, a) X2 + 6x - 7 = 0 X2 + 6x = 7 X2 + 2.3x + 9 = 7 + 9 (x + 3)2 = 16 ox + 3 = 4 hoặc x + 3 = -4x = 1 hoặc X = -7.
2x2 - 4x - 3 = 0 2x2 - 4x = 3 X2 - 2x = ị 2
? -	.	3	.	.	..2	5	,	[5 , _
 X - 2x + 1 = 4+ 1 (x - 1) = -- X - 1 = , P- hoặc X - 1 -
2	2	V2
 X = 1 +
hoặc X - 1 -J-T hay X =
2 + VĨÕ
2-VĨÕ
hoặc X -
2 2
3x2 + 6x + 4 = 0 3x2 + 6x = -4 X + 2x =
 X2 + 2x + 1 = “4+ 1 (x + l)2 = - ị.
3	3
Phương trình vô nghiệm.
Giải, a) Phương trình đã cho là một phương trình bậc hai khi m - 1	0 hay
khi m + 1,
b) Khi m = 2, phương trình đã cho trở thành : X2 - lOx + 9 = 0.
Ta có : X2 - lOx + 9 = 0 X2 - lOx = -9 x“ - 2. X. 5 + 5“ = -9 + 5'
 (x - 5)2 = 16 X - 5 = 4 hoặc x-5=-4x = 9 hoặc X = 1.
Với X = 1, ta có
(m - l).l2 - 2(2m + l).l + 3m + 3 = m - 1 - 4m - 2 + 3m + 3=0.
Vậy với mọi giá trị của m thì X = 1 luôn là nghiệm của phương trình đã cho.

Với Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai cực hay, có đáp án Toán học lớp 9 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai cực hay, có đáp án.

Các dạng bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

A. Phương pháp giải

Giải phương trình trùng phương: Cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Bước 1: Đặt x2 = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 3: Giải phương trình x2 = t để tìm nghiệm .

Bước 4: Kết luận.

Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương

+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.

+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.

+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Quy đồng, khử mẫu, rút gọn đưa về dạng phương trình bậc hai.

Bước 3: Giải phương trình bậc hai.

Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận.

Giải phương trình tích: Cho phương trình A(x).B(x)...C(x) = 0 (1), trong đó A(x).B(x)...C(x) là các phương trình ẩn x.

Bước 1: Biến đổi tương đương A(x).B(x)...C(x) = 0 

Bước 2: Lần lượt giải các phương trình A(x) = 0; B(x) = 0;... C(x) = 0.

Bước 3: Kết luận.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Số nghiệm của phương trình x4 - 6x2 + 8 = 0 là:

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 2: Phương trình x4 + 2(m + 1)x2 + m2 = 0 vô nghiệm khi:

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 3: Cho phương trình x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 3 = 0 là tham số. Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 4: Giải phương trình 

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 5: Cho phương trình . Chọn khẳng định đúng về nghiệm của phương trình:

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 6: Giải phương trình 

Lời giải

Chọn

Ví dụ 7: Tập nghiệm của phương trình (x2 + 3x - 1)(3x2 + 7x + 4) = 0 là:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 8: Phương trình (x2 + 3x + 2)(3x2 + 5x + 2) = 0 có:

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 9: Tìm m để phương trình (x2 + 2x + m)(x2 + mx + 2) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải

Chọn D