VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm: Các bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm. Phương pháp giải. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S, với S là quãng đường mà chất điểm đó đi được trong thời gian t, kể từ thời điểm ban đầu. Gọi v và a lần lượt là vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t. Bài tập 1. Một vật chuyển động với gia tốc, trong đó t là khoảng thời gian tính từ thời điểm ban đầu. Vận tốc ban đầu của vật là. Hỏi vận tốc cảu vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu? Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức. Vì vận tốc ban đầu [lúc t = 0] của vật là 0. Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là. Bài tập 2. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5[s] sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu? Vận tốc v chính là nguyên hàm của gia tốc a. Tại thời điểm ban đầu thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là. Chú ý: Gia tốc của vật chuyển động. Ta tính v kết hợp với điều kiện vận tốc ban đầu 0. Suy ra công thức tính vận tốc v tại thời điểm t và tính được v.
Bài tập 3. Một nhà khoa học tự chế tên lửa và phóng tên lửa từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 20 m/s. Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực. Hỏi sau 2s thì tên lửa đạt đến tốc độ là bao nhiêu? Xem như tại thời điểm t = 0 thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là.
Với mong muốn có thêm tài liệu giúp các em học sinh ôn tập chuẩn bị trước kì thi THPT QG năm 2021 sắp tới HOC247 giới thiệu đến các em tài liệu Các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế có lời giải chi tiết, được HOC247 biên tập và tổng hợp để giúp các em tự luyện tập. Hi vọng tài liệu này sẽ có ích cho các em, chúc các em có kết quả học tập tốt!
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sự dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học. Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra ?
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,… Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. [Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến].
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
Ví dụ: Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính r. Hỏi phải treo ở độ cao [h] là bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức [C=kfrac{sin alpha }{{{l}^{2}}}] [[alpha ] là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k – hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng.
Phân tích:
● Gọi các ký hiệu [l,M,N,O,I] như hình vẽ.
Ta cần tìm cường độ chiếu sáng lớn nhất trong khi đó biểu thức [C=kfrac{sin alpha }{{{l}^{2}}}]phụ thuộc vào góc [alpha ] và chiều dài l. Do đó ta sẽ cần tìm một đẳng thức quan hệ giữa 2 biến trên thông qua hằng số [bất biến]. Ở đây hằng số đó chính là r [bán kính hình tròn của cái bàn].
● Dựa vào hình vẽ, ta có [sin alpha =frac{h}{l}].
Đồng thời [{{h}^{2}}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}] Điều đó có nghĩa là [C=kfrac{sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}}{{{l}^{3}}}left[ l>r right]]
● Bài toán trở thành tìm [underset{rin left[ 0;l right]}{mathop{max }},fleft[ l right]=?]
Hướng dẫn giải.
Gọi [h] là độ cao của đèn so với mặt bàn [[h>0]].
Các ký hiệu [l,M,N,O,I] như hình vẽ.
Ta có [sin alpha =frac{h}{l}] và [{{h}^{2}}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}Rightarrow ] cường độ sáng là [C=kfrac{sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}}{{{l}^{3}}}left[ l>r right]]
Đặt [f[l] = kfrac{{sqrt {{l^2} – {r^2}} }}{{{l^3}}}]. Bài toán trở thành tìm [underset{rin left[ 0;l right]}{mathop{max }},fleft[ l right]=?]
Ta có: [f’left[ l right]=kfrac{frac{{{l}^{4}}}{sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}}-3{{l}^{2}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}}{{{l}^{6}}}=k{{l}^{2}}frac{{{l}^{2}}-3left[ {{l}^{2}}-{{r}^{2}} right]}{{{l}^{8}}sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}}]
Cho [f’left[ l right]=0Leftrightarrow {{l}^{2}}left[ 3{{r}^{2}}-2{{l}^{2}} right]=0Leftrightarrow l=rsqrt{frac{3}{2}}>r].
Lập bảng biến thiên ta thấy
Dựa vào bảng biến thiên, ta có [underset{rin left[ 0;l right]}{mathop{max }},fleft[ l right]=fleft[ rsqrt{frac{3}{2}} right]]
Và khi đó [h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=sqrt{frac{3}{2}{{r}^{2}}-{{r}^{2}}}=frac{rsqrt{2}}{2}].
Bài toán 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là [atimes b] với [a ].>
Hướng dẫn giải.
● Gọi [x] là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện [0
Khi đó thể tích hình hộp là [V=xleft[ a-2x right]left[ b-2x right]=4{{x}^{3}}-2left[ a+b right]{{x}^{2}}+abx=Vleft[ x right]].
● Bài toán trở thành tìm [underset{xin left[ 0;frac{a}{2} right]}{mathop{max }},Vleft[ x right]=?]
Đạo hàm [V’=f’left[ x right]=12{{x}^{2}}-4left[ a+b right]x+ab].
Ta có [Delta ‘=4{{left[ a+b right]}^{2}}-12ab=4left[ {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} right]>0] với mọi [a,text{ }b].
Do đó [V’=0] luôn có hai nghiệm phân biệt
[{{x}_{1}}=frac{a+b-sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}}{6} 0\ {x_1}{x_2} = frac{{ab}}{{12}} > 0 end{array} right.] suy ra [00 cho trước [k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Hướng dẫn giải.
● Gọi [x,yleft[ 0
Gọi [h] là chiều cao của hố ga [left[ h>0 right]].
● Theo đề bài ta có [h=kx] và [V=hxyRightarrow y=frac{V}{hx}=frac{V}{k{{x}^{2}}}]
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất.
Khi đó ta có: [{{S}_{tp}}=2xh+2yh+2xy=2xleft[ kx right]+2left[ kx right].frac{V}{k{{x}^{2}}}+2xfrac{V}{k{{x}^{2}}}]
Suy ra [{{S}_{tp}}=2k{{x}^{2}}+frac{2left[ frac{k+1}{k} right]V}{x}] Xét hàm số [fleft[ x right]=2k{{x}^{2}}+frac{2left[ frac{k+1}{k} right]V}{x}].
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của [fleft[ x right]] với [x>0].
[f’left[ x right]=4kx-frac{2left[ frac{k+1}{k} right]V}{{{x}^{2}}}=2frac{2{{k}^{2}}{{x}^{3}}-left[ k+1 right]V}{k{{x}^{2}}}] , cho [f’left[ x right]=0Leftrightarrow {{x}_{o}}=sqrt[3]{frac{left[ k+1 right]V}{2{{k}^{2}}}}>0]
Lập bảng biến thiên ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta có [underset{x>0}{mathop{min }},fleft[ x right]=fleft[ sqrt[3]{frac{left[ k+1 right]V}{2{{k}^{2}}}} right]] .
Khi đó [y=sqrt[3]{frac{4kV}{{{left[ k+1 right]}^{2}}}}] và [h=sqrt[3]{frac{kleft[ k+1 right]V}{2}}].
Bài toán 4. Có hai vị trí [A,B] nằm về cùng phía đối với bờ sông [d] như hình vẽ. Khoảng cách từ ]A] đến bờ sông là [30,m]. Khoảng cách từ B đến bờ sông là [45,m]. Khoảng cách giữa A và B là [5sqrt{409},,m]. Một người đi từ A đến bờ sông [phía A,B] để lấy nước sau đó đi về vị trí B. Hỏi đoạn đường tối thiểu người đó đi từ A đến B [có ghé qua bờ sông] là bao nhiêu [đơn vị m] ?
Hướng dẫn giải.
● Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BN.
Dựa vào hình vẽ ta có [ON=AH=sqrt{A{{B}^{2}}-{{left[ BN-HN right]}^{2}}}=100]
Gọi M là vị trí mà người đó đi từ A đến bờ sông, đặt [OA=xleft[ m right]] [left[ 0
Khi đó ta có đoạn đường tối thiểu mà người đó phải đi là:
[S=AM+MB=sqrt{O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}}+sqrt{M{{N}^{2}}+M{{B}^{2}}}Rightarrow S=sqrt{{{x}^{2}}+{{30}^{2}}}+sqrt{{{left[ 100-x right]}^{2}}+{{45}^{2}}}]
Đặt [fleft[ x right]=sqrt{{{x}^{2}}+{{30}^{2}}}+sqrt{{{left[ 100-x right]}^{2}}+{{45}^{2}}}] với [left[ 0
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số [fleft[ x right]] với [0
[f’left[ x right] = frac{x}{{sqrt {{x^2} + {{30}^2}} }} + frac{{ – left[ {100 – x} right]}}{{sqrt {12015 – 200x + {x^2}} }},f’left[ x right] = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 40left[ {tm} right]\ x = – 200left[ {ktm} right] end{array} right.]
Khi đó lập bảng biến thiên ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: [minS=underset{xin left[ 0;100 right]}{mathop{min }},fleft[ x right]=fleft[ 40 right]=125,,m]
Bài toán 5. Có một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của toàn bộ trang sách là [Sleft[ c{{m}^{2}} right]]. Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu và dòng cuối đều phải cách mép [trên và dưới] trang sách là [aleft[ cm right]]. Lề bên trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải của trang sách là [bleft[ cm right]left[ b
Hướng dẫn giải.
● Gọi [x,y] lần lượt là chiều rộng và chiều dài của trang sách [left[ 0
Khi đó chiều rộng phần in sách sẽ là [x-2b,left[ b0] [Rightarrow underset{xin left[ 0;+infty right]}{mathop{min }},fleft[ x right]=fleft[ sqrt{frac{bS}{a}} right]=4sqrt{abS}].
Khi đó [x=sqrt{frac{bS}{a}},y=sqrt{frac{aS}{b}}Rightarrow frac{y}{x}=frac{S}{{{x}^{2}}}=frac{a}{b}>1]
…
–[Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy]—
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
-
Các quy tắc tính đạo hàm và bài tập áp dụng
-
Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế
Chúc các em học tập tốt!