Bài tập về độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH [ĐỀ SỐ 01]

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:

www.vted.vn

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút [không kể thời gian giao đề] Mã đề thi

001 Họ, tên thí sinh:... Trường: ...

ComboTốncaocấpdànhchoSinhviênkhốingànhkinhtế

Đăngkíkhốhọctạiđây://goo.gl/FQ5oca

• Cho hệ m véctơ n chiều X1, X2,..., Xm. Véctơ X ∈ !

n được biểu diễn tuyến tính qua

m véctơ

X1, X2,..., Xm nếu tồn tại m số thực α1,α2,...,αm sao cho X = α1X1+ α2X2+...+ αmXm.

• Đẳng thức trên tương đương với: α1,α2,...,αm là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n

phương trình và m ẩn α1,α2,...,αm có ma trận hệ số mở rộng

A= X

[

]

véctơ X1, X2,..., Xm, X được viết dưới dạng cột:

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn véctơ X = [7,11,−6] qua các véctơ X1= [1,3,−2], X2= [3,4,−1], X3= [5,5,1]. Giải. Giả sử X = α1X1+ α2X2+ α3X3 khi đó α1,α2,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số mở rộng

A=

1 3 5 73 4 5 11−2 −1 1 −6⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−3d1+d22d1+d2⎯⎯⎯⎯→

1 3 5 70 −5 −10 −100 5 11 8⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

d2+d3⎯⎯⎯→

1 3 5 7
0 −5 −10 −100 0 −1 −2⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Vậy

α1+ 3α2+5α3= 7−5α2−10α3= −10

α3= −2⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⇔

α1= −1

α2= 6

α3= −2⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

. Vậy X = −X1+ 6X2−2X3.

Ví dụ 2: Tìm m để véctơ X = [3,−1,11,m] biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [2,1,3,8], X2= [1,3,0,5], X3= [−1,2,2,2].

Giải. Giả sử X = α1X1+ α2X2+ α3X3 khi đó α1,α2,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số

mở rộng

A=

2 1 −1 31 3 2 −13 0 2 118 5 2 m

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

.

2 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A=

2 1 −1 31 3 2 −13 0 2 118 5 2 m

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟doichod1&d 2⎯⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −1
2 1 −1 33 0 2 118 5 2 m

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−2d1+d2−3d1+d3−8d1+d4⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −10 −5 −5 50 −9 −4 140 −19 −14 m+8⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−15d2⎯⎯⎯→

1 3 2 −10 1 1 −10 −9 −4 140 −19 −14 m+8⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

9d2+d319d2+d4⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −10 1 1 −10 0 5 50 0 5 m−11⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−d3+d4⎯⎯⎯→

1 3 2 −10 1 1 −10 0 5 50 0 0 m−16⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Vậy điều kiện là hệ có nghiệm ⇔ m−16 = 0 ⇔ m =16.

2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ

• Cho m véctơ n chiều X1, X2,..., Xm. Xét đẳng thức: α1X1+ α2X2+...+ αmXm= On[*]. Đẳng

thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng qt gồm n phương trình và m ẩn α1,α2,...,αm có

ma trận hệ số là

A= X

[

]

• Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2,..., Xm được gọi là độc lập tuyến tính nếu [*] chỉ xảy ra khi

α1= α2= ...= αm= 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm tầm thường

duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng tam giác.

• Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2,..., Xm được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực

α1,α2,...,αm không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức [*] xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất

có ma trận hệ số A có vơ số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng

hình thang.

Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1= [2,1,−1], X2= [1,5,−2], X3= [3,−7,2]. Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số:

A=

2 1 31 5 −7−1 −2 2⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟doichod1&d 3⎯⎯⎯⎯⎯→

−1 −2 21 5 −72 1 3⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

d1+d22d1+d3⎯⎯⎯→

−1 −2 2
0 3 −50 −3 7⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

d2+d3⎯⎯⎯→

−1 −2 20 3 −50 0 2⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác nên hệ véctơ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 2: Tìm m để hệ véctơ X1= [−1,3,2], X2= [2,4,−3], X3= [5,5,m] độc lập tuyến tính.

Giải. Có

A=

−1 2 53 4 52 −3 m⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

3d1+d22d1+d3⎯⎯⎯→

−1 2 50 10 200 1 m+10⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−110d2+d3⎯⎯⎯⎯→

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{

}

diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2,..., Xm−1 thì hệ véctơ

{

}

{

}

thời bằng 0 sao cho α1X1+ α2X2+...+ αmXm= On.

Do Xm khơng biểu diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2,..., Xm−1 nên αm= 0. Vậy α1X1+ α2X2+...+ αm−1Xm−1= On.

Mặt khác m−1 số thực α1,α2,...,αm−1 không đồng thời bằng 0 nên hệ véctơ

{

}

3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định lí 1: Một hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại.

Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ X ,Y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y tỷ lệ và ngược lại X ,Y độc lập tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y khơng tỷ lệ.

Định lí 2: Cho hai hệ véctơ n chiều

{

}

{

}

Nếu m > k và mọi véctơ Xi[i=1,2,...,m] được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{

}

véctơ

{

}

Hệ quả: Mọi hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn số chiều [lớn hơn n] thì hệ véctơ đó phụ thuộc

tuyến tính.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{

}

n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ

X ∈ !n khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{

}

Giải. Giả sử m > n−1 suy ra hệ véctơ X1, X2,..., Xm, X có số véctơ là m+1> n lớn hơn số chiều của

!n nên phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy tồn tại m+1 số thực α1,α2,...,αm,α không đồng thời bằng 0 sao

cho

α1X1+ α2X2+...+ αmXm+ αX = On.

Do X không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{

}

Vậy α1X1+ α2X2+...+ αmXm= On⇔ α1= α2= ...= αm= 0 [do hệ véctơ

{

}

n độc lập

tuyến tính]. Vậy α1= α2= ...= αm= α = 0 [mâu thuẫn với m+1 số thực α1,α2,...,αm,α khơng đồng thời bằng 0]. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 1. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = [16,7,−1] qua các véctơ

X1= [1,−1,3], X2= [2,1,1], X3= [5,3,−1].

Câu 2. Hãy biểu diễn véctơ X = [7,11,−6] qua các véctơ X1= [1,3,−2], X2= [3,4,−1], X3= [5,5,1].

Câu 3. Tìm m để véctơ X = [3,−1,11,m] biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [2,1,3,8], X2= [1,3,0,5], X3= [−1,2,2,2].

Câu 4. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = [−3,1,−20,25] qua các véctơ

X1= [1,2,3,4], X2= [−1,5,6,1], X3= [−2,3,−2,5].

Câu 5. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = [7,26,−7,−28] qua các véctơ

4 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Câu 6. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = [3,−5,−10,15] qua các véctơ

X1= [3,−2,4,5], X2= [1,1,7,−3], X3= [0,2,3,−4].

Câu 7. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = [1,−2,0,7] qua các véctơ

X1= [1,3,4,5], X2= [2,2,−1,3], X3= [3,5,1,−2], X4= [−4,7,2,4].

Câu 8. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1= [2,1,−1], X2= [1,5,−2], X3= [3,−7,2].

Câu 9. Tìm m để hệ véctơ X1= [−1,3,2], X2= [2,4,−3], X3= [5,5,m] độc lập tuyến tính.

Câu 10. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau:

a]

X1= [2,1,−1]

X2= [1,5,−2]

X3= [3,−7,2]⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

. b]

X1= [1,1,−1,−1]

X2= [2,6,3,2]

X3= [5,9,0,−1]⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

. c]

X1= [1,−2,1,−1]

X2= [3,3,5,−2]

X3= [0,−9,−2,1]⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

. d]

X1= [−1,3,2]

X2= [2,4,−3]

X3= [5,5,m]⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

.

e]

X1= [4,3,−1,2]

X2= [2,−2,4,5]

X3= [−2,9,−13,−13]⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

.

Câu 11. Tìm m để véctơ X = [−3,−2,1,m] biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [2,1,m,−1], X2= [1,3,−1,2], X3= [2,−1,−3,−1].

Câu 12. Chứng minh rằng với mọi m hệ véctơ X1= [2,3,4,−1], X2= [−1,2,−2,1], X3= [3,m,4,2] độc lập tuyến tính.

Câu 13. Chứng minh rằng với mọi m véctơ X = [−m,2,m] luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [1,3,m], X2= [−2,−1,1], X3= [4,2,−3].

Câu 14. Chứng minh X1= [1,1,1], X2= [1,1,2], X3= [1,2,3] độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ

X = [6,9,14] qua các véctơ X1, X2, X3.

Câu 15. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{

}

diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2,..., Xm−1 thì hệ véctơ

{

}

Câu 16. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{

}

n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ

X ∈ !n khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{

}

Câu 17. Tìm m để hệ véctơ X1= [−1,3,2,1], X2= [2,4,−3,−1], X3= [1,2,3,4], X4= [5,5,5,m] độc lập tuyến tính.

Câu 18. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{

}

n độc lập tuyến tính và khi thêm vào véctơ

X ∈ !n ta được hệ véctơ

{

}

tính một cách duy nhất qua các véctơ X1, X2,..., Xm.

Câu 19. Tìm m để véctơ X = [1,2,3,m] biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [−1,2,−3,5], X2= [2,1,4,6], X3= [−3,2,5,7].

Câu 20. Tìm m để véctơ X = [1,2,3,4,m] biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= [−1,2,−3,5,1], X2= [2,1,4,6,3], X3= [−3,2,5,7,−1], X4= [−2,3,−1,4,5].

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5

Đăngkíkhốhọctạiđây://goo.gl/FQ5oca

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khố học Tốn cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành

cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả

các trường:

1

Khoá: PRO S1 - MƠN TỐN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

2

Khố: PRO S2 - MƠN TỐN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

Khố học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp

giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống

bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại

website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc

chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên

đạt điểm A thi cuối kì các học phần Tốn cao cấp 1 và

Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả

nước...

Video liên quan