Bài toán giá tị lớn nhất nhỏ nhất của logarit năm 2024

Tài liệu gồm 36 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán GTLN – GTNN biểu thức mũ – lôgarit nhiều biến số; đây là dạng toán VDC thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2. BÀI TOÁN GTLN – GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ Cách 1: Đánh giá áp dụng BĐT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki. Cách 2: Áp dụng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng. Thông thường ta thực hiện theo các bước sau: Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau. Đưa vào một biến mới t bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên. Xét hàm số f t theo biến t. Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t với t D. Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t với t D. Chú ý : Ta chứng minh được: Nếu hàm số y fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D mà phương trình fx k có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D. Nếu hàm số y fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y gx luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D mà phương trình f x gx có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên D. Nếu hàm số y fx luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì fx fy nếu x y (hoặc x y). Cách 3: Áp dụng hình học giải tích. BÀI TOÁN GTLN – GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT NHIỀU BIẾN SỐ Cho xyz lần lượt là các số thực dương và thỏa mãn hệ phương trình sau 3log 3 3log 27 log 81 0 x y 3 3 x z xy yz. Khi biểu thức 5 4 P xyz đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của 1000P nằm trong khoảng nào? Cho các số thực không âm abc thỏa mãn 2484 abc. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c 2 3. Giá trị của biểu thức 4 log M M m bằng? Cho ba số thực thay đổi abc 1 thỏa mãn abc 6. Gọi 1 2 x x là hai nghiệm của phương trình 2 log 2 log 3log log 2022 0 a a aa x b cx. Khi đó giá trị lớn nhất của 1 2 x x là?

Tài liệu gồm 51 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đặng Việt Đông, tuyển chọn và hướng dẫn giải 96 bài toán min – max (giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất / GTNN – GTLN) liên quan đến hàm số mũ, hàm số logarit nhiều biến số, một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) thường xuất hiện trong các đề thi thử tốt nghiệp THPT 2020 môn Toán.

Dạng toán 1. Áp dụng đánh giá, áp dụng bất đẳng thức. Dạng toán 2. Áp dụng pháp hàm số, hàm đặc trưng. + Áp dụng hàm số. + Áp dụng hàm đặc trưng. Dạng toán 3. Áp dụng hình học giải tích.

• Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Bài toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số được coi là dạng toán đơn giản trong chương trình THPT. Nhưng các em cũng đừng chủ quan mà bỏ qua lý thuyết và ôn tập thật kĩ. Hãy cùng Vuihoc.vn tìm hiểu về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cùng các dạng toán để luyện tập nhé!

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số - Toán lớp 12

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hay khoảng chính là giá trị đó phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Có những hàm số không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất dù cho có cận trên và cận dưới trên đoạn hay khoảng mà chúng ta đang xét.

Hàm số y = f(x) và xác định trên D:

• Nếu f(x) ≤ M x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Max f(x)= M

• Nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Min f(x)=m

Ta có sơ đồ sau:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

2.1. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập D xác định ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào kết quả bảng biến thiên của hàm số để đưa ra kết luận cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

Ví dụ 2: Toán 12 tìm trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số:

Phương pháp giải:

2.2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

Theo định lý ta biết rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Vậy quy tắc và phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a, b là:

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn

Giải:

Ta có:

Vậy:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Giải:

Ta có:

Vậy:

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

3. Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số và phương pháp giải

3.1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định
• Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định
• Bước 3. Lập bảng biến thiên
• Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể dùng máy tính cầm tay để giải các bước như sau:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị).
• Quan sát bảng giá trị máy tính hiện, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
• Ta lập giá trị của biến x Start a End b Step (có thể làm tròn).

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính về chế độ Rad.

Ví dụ: Cho hàm số y= f(X)=

Tập xác định D=ℝ

Ta có y= f(X)=

Do đó y'= 0

Bảng biến thiên

Qua bảng biến thiên, ta thấy:

tại x=1

3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số trên một đoạn

• Bước 1: Tính f’(x)
• Bước 2: Tìm những điểm xi ∈ (a;b) mà tại điểm đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
• Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)
• Bước 4: Tìm số có giá trị nhỏ nhất m và số có giá trị lớn nhất M trong các số trên.

Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên .

Chú ý:

– Khi hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

– Khi hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

Ví dụ: Cho hàm số . Giá trị của

bằng

Ta có ; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞).

⇒ Hàm số trên nghịch biến [2; 3]

Do đó:

Vậy ta có:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3.3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu t= sinx hoặc t= cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu t= |cosx| hoặc ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu t=|sinx| hoặc ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx =

• Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ
• Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ
• Kết luận

Ví dụ: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2cos2x + 2sinx là bao nhiêu?

Ta có y= f(x) = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ ∈ (-1; 1)

Vì nên M = 94; m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc biến thiên

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R bằng bao nhiêu biết f(-4) > f(8)?

Giải

Từ bảng biến thiên ta có f(x) f(-4) và

Mặt khác ta có f(-4) > f(8) suy ra với mọi thì

Vậy

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3]

Giải

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3;

Vậy M – m = 5

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài trong đề THPT Quốc Gia

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh bổ sung thêm kiến thức cũng như các lý thuyết về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong trong chương trình