Toán 12 – Chương 7 - Bài 4: Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ - Học hay

Video bài học Toán 12 – Chương 7 - Bài 4: Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm đặc biệt

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa điểm, điểm thuộc các trục tọa độ, điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ và các tọa độ điểm đặc biệt như:

- Trung điểm $M [\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}]$

- Trọng tâm tam giác $G [\frac{x_A + x_B + x_C}{3} ; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}]$

- Trọng tâm tứ diện $[\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}; \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}]$

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các véc tơ

Phương pháp chung:

Sử dụng các lý thuyết về véc tơ bằng nhau, cùng phương, vuông góc, đồng phẳng,… để xét mối quan hệ giữa các véc tơ.

Dạng 3: Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích, thể tích

Phương pháp:

Sử dụng các công thức diện tích, thể tích để tính.

Dạng 4: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi tọa độ điểm theo tham số [thường là thuộc đường thẳng, thuộc mặt phẳng,…].

- Bước 2: Thay tọa độ điểm vào điều kiện đề bài để tìm tham số, từ đó ta được kết quả cần tìm.

Bài tập

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0;−2;3],B[1;0;−1]. Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. $\overrightarrow{BA} =[−1;−2;−4] $

1. $AB=\sqrt{21}$

1. $M[1;−1;1]$

1. $\overrightarrow{AB} =−1;−2;4] $

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} =[m;−2;m+1]$ và $\vec{v} =[0;m−2;1]$. Tất cả giá trị của m có thể có để hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương là:

1. m=−1

1. m=0

1. m=1

1. m=2.

3. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có các cạnh đáy lần lượt là AB,CD. Biết A[3;1;−2], B[−1;3;2],C[−6;3;6] và D[a;b;c] với a,b,c ∈ R. Tính T=a+b+c

1. T=−3

1. T=1

1. T=3

1. T=−1

4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0;2;−1], B[2;0;1]. Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :$MA^2+MB^2$ đạt giá trị bé nhất.

1. M[0;1;0]

1. M[1;0;0]M

1. M[0;1;2]

1. M[−1;0;0]

5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\vec{u}=[2;−1;1], \vec{v}=[m;3;−1], \vec{w=}[1;2;1]$. Để ba vectơ đã cho đồng phẳng khi m nhận giá trị nào sau đây?

1. −8

1. 4

1. −73

1. −83

Đáp án: 1b, 2b, 3a, 4b, 5d

toanhoclop12

toan12

onthilop12

luyenthitoan12

toan12hinhhoc

giaitoan12

hochay

hoctoan12

lop12

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vecto OM theo 3 vecto không đồng phẳng i, j, k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz

Xem lời giải

747 Bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz là tài liệu cực kì hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn lớp 12 cùng tham khảo.

Tài liệu gồm 94 trang tổng hợp 744 bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz có đáp án, các bài tập được đánh số ID, được phân loại theo từng dạng bài và sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần dựa trên 04 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng bậc thấp và vận dụng bậc cao.

Các bài toán trắc nghiệm Oxyz được phân loại thành 06 vấn đề dựa vào các đơn vị bài học trong SGK Hình học 12 chương 3 như sau:

Với cách giải các dạng toán về Các bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải môn Toán lớp 12 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Các bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem:

Các bài toán về tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải - Toán lớp 12

1. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng [Oxy]; [Oyz]; [Oxz] đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Chú ý: i→2=j→2=k→2=1

và i→.j→=i→.k→ = k→.j→=0

2. Tọa độ của vectơ

1. Định nghĩa:

u→ = x; y; z⇔u→ = xi→+yj→+zk→

1. Tính chất:

Cho a→=[a1;a2;a3], b→=[b1;b2; b3], k∈ℝ ta có:

+ Tổng và hiệu của hai vectơ:

a→±b→ = [a1±b1; a2±b2; a3±b3]

+ Tích của vectơ với một số:

ka→ = [ka1; ka2; ka3] k∈ℝ

+ Hai vectơ bằng nhau:

a→=b→ ⇔ a1=b1a2=b2a3=b3

+ Chú ý:

0→=[0;0;0], i→=[1;0;0], j→=[0;1;0], k→=[0;0;1]

+ a→ cùng phương b→ [b→≠0→] ⇔ a→=kb→ [k∈ℝ]

3. Tọa độ của điểm

1. Định nghĩa: M[x; y; z] ⇔OM→ = x.i→+y.j→+ z.k→ [x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ].

Chú ý:

M∈Oxy⇔z=0; M∈Oyz⇔x=0; M∈Oxz⇔y=0

M∈Ox⇔y=z=0; M∈Oy⇔x=z=0; M∈Oz⇔x=y=0

1. Tính chất: Cho A[xA; yA; zA], B[xB; yB; zB]

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các định nghĩa, tính chất và các khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm: tọa độ của điểm, vectơ; các phép toán vectơ… để tính tổng, hiệu các vectơ, tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, tìm điểm và vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước, …

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A [1; 2; 0]; B [3; -1; 1] và C [1; 1; 1]. Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

1. G53;23;23

1. G−53;23;23

1. G53;−23;23

1. G53;−23;−23

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm trong tam giác ABC ta có:

Tọa độ trọng tâm G1+3+13;2−1+13;0+1+13 hay G53;23;23

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của vectơ u→=i→+2j→−k→.

1. u→=1; 2; −1

1. u→=−1; 2; 1

1. u→=2; 1; −1

1. u→=−1; 1; 2

Hướng dẫn giải

Ta có

i→=1; 0; 0, j→=0; 1; 0, k→=0; 0; 1

Nên u→=i→+2j→−k→

\=[1; 0; 0]+20; 1; 0−0; 0; 1=1; 2; −1

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M [0; 1; 2], N [7; 3; 2], P [-5; -3; 2]. Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn MN→=QP→.

1. Q [12; 5; 2].

1. Q [-12; 5; 2].

1. Q [-12; -5; 2].

1. Q [-2; -1; 2].

Hướng dẫn giải

Ta có:

MN→=QP→⇔xN−xM=xP−xQyN−yM=yP−yQzN−zM=zP−zQ⇔7−0=−5−xQ3−1=−3−yQ2−2=2−zQ⇔7=−5−xQ2=−3−yQ0=2−zQ⇔xQ=−12yQ=−5zQ=2