§6. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
43. Một cuộc điều tra được tiến hành như sau : Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? Vì sao ?
Giải
X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì :
- Giá trị của X là một số thuộc tập hợp {1, 2,...,100} [vì số người trong mỗi gia đình ở Việt Nam chắc chắc không thể vượt quá 100].
- Giá trị của X là ngẫu nhiên [vì giá trị đó phụ thuộc vào bạn học sinh mà ta chọn một cách ngẫu nhiên].
44. Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X [giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,5].
Giải
X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tập hợp các giá trị của X là {0, 1, 2, 3}. Để lập bảng phân bố xác suất của X, ta phải tính các xác suất P[X = 0], P[X = 1], P[X = 2] và P[X = 3].
Không gian mẫu gồm 8 phần tử sau :
{TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG},
trong đó chẳng hạn GTG chỉ giới tính của ba người con lần lượt là Gái, Trai, Gái.
Như vậy không gian mẫu gồm 8 kết quả có đồng khả năng.
Gọi $A_{k}$ là biến cố "Gia đình đó có k con trai" [k = 0, 1, 2, 3]
Vậy bảng phân bố xác suất của X là :
45. Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :
Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực.
a] Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.
b] Tính xác suất để có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.
Giải
a] Gọi A là biến cố "Phải tăng bác sĩ trực", Từ điều kiện của bài ra, ta có :
P[A] = P[X > 2] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5]
= 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35
b] P[X > 0] = 1 - P[X = 0] = 1 - 0,15 = 0,85.
46. Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa [từ 12 giờ đến 13 giờ] là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :
Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn 2 cuộc gọi.
Giải
Ta có P[X > 2] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5]
= 0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,35
47. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 [tính chính xác đến hàng phần trăm].
Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3}
Bảng phân bố xác suất của X là :
Kỳ vọng của X là :
Phương sai của X là :
Độ lệch chuẩn của X là: $\sigma$[X] = $\sqrt{V[X]}$ $\approx$ 0,87
48. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 [tính chính xác đến hàng phần trăm]
Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Bảng phân bố xác suất của X là :
Kỳ vọng của X là :
E[X] = 0.0,15 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,2 + 4.0,1 + 5.0,05 = 2,05
Phương sai :
Độ lệch chuẩn của X là : $\sigma$[X] = $\sqrt{V[X]}$ $\approx$ 1,36
49. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 [tính chính xác đến hàng phần trăm].
Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Bảng phân bố xác suất của X là :
Kỳ vọng của X là :
E[X] = 0.0,3 + 1.0,2 + 2.0,15 + 3.0,15 + 4.0,1 + 5.0,1 = 1,85
Phương sai :
Độ lệch chuẩn của X là : $\sigma$[X] = $\sqrt{V[X]}$ $\approx$ 1,68
50. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.
Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3}
Xác suất để không có bé gái nào là :
Xác suất để có 1 bé gái là :
Xác suất để có 2 bé gái là :
Xác suất để có 3 bé gái là :
Vậy bảng phân bố xác suất của X là :
51. Số đơn đặt hàng đến trong một ngày ở một công ty vận tải là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :
a] Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1; 4].
b] Tính xác suất để có ít nhất 4 đơn đặt hàng đến công ty đó trong một ngày.
c] Tính số đơn đặt hàng trung bình đến công ty đó trong một ngày.
Giải
a] Xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1; 4] là :
P[1 $\leq$ X $\leq$ 4] = P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4]
= 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,8
b] Ta có : P[X $\geq$ 4] = P[X = 4] + P[X = 5] = 0,1 + 0,1 = 0,2
c] Số đơn đặt hàng trung bình đến công ty trong 1 ngày là kỳ vọng của X.
E[X] = 0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,1 + 4.0,1 + 5.0,1 = 2,2 .
52. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :
a] Tính P[2 < X < 7] ;
b] Tính P[X > 5].
Giải
a] Ta có : P[2 < X < 7] = P[X = 3] + P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6]
= 0,14 + 0,18 + 0,25 + 0,15 = 0,72
b] P[X > 5] = P[X = 6] + P[X = 7] + P[X = 8] + P[X = 9]
= 0,15 + 0,07 + 0,04 + 0,01 = 0,27
53. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :
Tính E[X], V[X] và $\sigma$[X] [tính chính xác đến hàng phần nghìn].
Giải
54. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau :
Tính E[X], V[X] và $\sigma$[X] [tính chính xác đến hàng phần nghìn]
Giải
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1] Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó với một xác suất tương ứng xác định.
Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu bằng chữ cái lớn ở cuối bảng chữ cái: X, Y, Z hoặc X1, X2, …, Xn; Y1, Y2, …, Yn và dùng các chữ nhỏ để ký hiệu các giá trị có thể có [giá trị cụ thể] của chúng. Chẳng hạn X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.
Ta chú ý rằng sở dĩ đại lượng X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ta chưa có thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá trị bằng bao nhiêu mà chỉ có thể dự đoán điều đó với một xác suất nhất định.
Nói một cách khác ,việc X nhận giá trị nào đó [X = x1] hay [X = x2], …, [X = xn] về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơn nữa vì trong kết quả của phép thử đại lượng X nhất định sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó, do đó các biến cố [X = x1], [X = x2], …, [X = xn] tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ.
Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện” thì X là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6 với xác suất tương ứng đều bằng 1/6.
Thí dụ 2: Gọi Y là số phế phẩm có trong 50 sản phẩm lấy ra kiểm tra. Y là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử Y sẽ nhận một trong các giá trị 0, 1, 2, …, 50.
2] Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
Trong số các đại lượng ngẫu nhiên thường gặp trong thực tế có thể phân thành hai loại chủ yếu: đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được.
Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên sẽ là rời rạc nếu ta có thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó.
* Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp kín một khoảng trên trục số.
Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta không thể liệt kê được các giá trị có thể có của nó.
Thí dụ 3: một phân xưởng có 4 máy hoạt động. Gọi X là: “số máy hỏng trong một ca”. X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có là X = 0, 1, 2, 3, 4.
Thí dụ 4: Gọi X là “kích thước của chi tiết do một máy sản xuất ra”, X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
II. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, trước hết ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể nhận các giá trị nào. Nhưng mặt khác ta phải biết nó nhận các giá trị trên với xác suất tương ứng là bao nhiêu.
Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.
Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng: bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất.
1. Bảng phân phối xác suất:
Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn. Bảng phân phối xác suất của X có dạng:
Trong đó các xác suất pi [i = 1, 2, …, n] phải thoả mãn các điều kiện:
và
Điều kiện thứ nhất là hiển nhiên vì theo tính chất của xác suất, còn điều kiện thứ hai là do các biến cố [X = x1], [X =x2], …, [X = xn] tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ, nên tổng xác suất của chúng bằng một.
Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm xuất hiện”. Bảng phân phối xác suất X có dạng:
Thí dụ 2: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, xây dựng quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
Giải: Gọi X là: “số chính phẩm được lấy ra từ hộp” thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng:
Vậy quy luật phân phối xác suất của X là:
2. Hàm phân phối xác suất:
Hàm phân phối xác suất áp dụng cho cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực nào đó. Xét biến cố “đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x”. Biến cố này được ký hiệu [X < x]. Hiển nhiên là x thay đổi thì xác suất P[X < x] cũng thay đổi theo. Như vậy xác suất này là một hàm số của x.
a] Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là F[x] là xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.
Ta chú ý rằng đây là định nghĩa tổng quát của hàm phân phối xác suất. Đối với từng loại đại lượng ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất được tính theo công thức riêng. Chẳng hạn nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm phân phối xác suất F[x] được xác định bằng công thức
[1]
[Trong đó ký hiệu xi < x dưới dấu Σ có nghĩa là tổng này được lấy theo mọi trị số xi của đại lượng ngẫu nhiên bé hơn x].
Thí dụ: Tiến hành bắn 3 viên đạn độc lập. Xác suất trúng bia của mỗi viên bằng 0,4. Lập hàm phân phối của số lần trúng.
Giải: Gọi X là số lần trúng. X có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3. Với các xác suất tương ứng là:
Ta có bảng phân phối xác suất của X:
* Khi x = 0, biến cố [X < x] là biến cố không thể có do đó F[x] = 0
* Khi 0 < x = 1 biến cố [X < x] chỉ xảy ra khi X = 0 nên F[x] = P1 = 0,216
* Khi 0 < x = 2 biến cố [X < x] sẽ xảy ra khi X = 0 hoặc khi X = 1
Do đó: F[x] = P1 + P2 = 0,216 + 0,432 = 0,643
* Khi 2 < x = 3 ta có: F[x] = P1 + P2 + P3 = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936
* Khi x > 3 ta có: F[x] = P1 + P2 + P3 + P4 = 1
Vậy hàm phân phối xác suất có dạng:
Đồ thị của F[x] được biểu diễn trên hình [3.1].
Như vậy đồ thị hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có dạng bậc thang với số điểm gián đoạn chính bằng số giá trị có thể có của X.
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm phân phối xác suất của nó liên tục và khả vi tại mọi điểm của X, do đó đồ thị của nó là đường cong liên tục.