Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x - m . 2 x + 1 + [ 2 m 2 - 5 ] = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt
A. 1
B. 5
C. 2
D. 4
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.Morbi adipiscing gravdio, sit amet suscipit risus ultrices eu.Fusce viverra neque at purus laoreet consequa.Vivamus vulputate posuere nisl quis consequat.
Create an account
Giải chi tiết:
\[{4^x} - 2m{.2^x} + 2m = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Đặt \[{2^x} = t\,\,\,\,\left[ {t > 0} \right]\], khi đó phương trình trở thành \[{t^2} - 2m.t + 2m = 0\,\,\,\,\left[ 2 \right]\].
+ Để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\]thì phương trình [2] có 2 nghiệm \[t\] dương phân biệt.
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - 2m} \right]^2} - 4.2m > 0\\2m > 0\\2m > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m > 2\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
+ Phương trình [1] có 2 nghiệm thỏa mãn: \[{x_1} + {x_2} = 3\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = {2^3}\]\[ \Leftrightarrow {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = 8 \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} = 8\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{{2m}}{1} = 8 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\,\left[ {tm\,\,\,\left[ * \right]} \right]\].
Chọn C.
Giải chi tiết:
\[\left[ {m + 1} \right]{16^x} - 2\left[ {2m - 3} \right]{4^x} + 6m + 5 = 0\,\,\,\,\,[*]\]
+ Đặt\[{4^x} = t\,\,\,\left[ {t > 0} \right]\] , phương trình trở thành: \[\left[ {m + 1} \right]{t^2} - 2\left[ {2m - 3} \right]t + 6m + 5 = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\].
+ Để phương trình [*] có 2 nghiệm thì phương trình [1] phải có 2 nghiệm dương phân biệt
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {2m - 3} \right]^2} - \left[ {m + 1} \right]\left[ {6m + 5} \right] > 0\\\dfrac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0\\\dfrac{{2\left[ {2m - 3} \right]}}{{m + 1}} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11,67 < m < 0,17\\m < - 1;\,\,\,m > - \dfrac{5}{6}\\m < - 1;\,\,\,m > \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow - 11,67 < m < - 1\end{array}\]
+ Để [*] có 2 nghiệm trái dấu:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} > 0\\{x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x_1}}} > {2^0}\\{2^{{x_2}}} < {2^0}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} > 1\\{t_2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {{t_1} - 1} \right]\left[ {{t_2} - 1} \right] < 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t_1}{t_2} - \left[ {{t_1} + {t_2}} \right] + 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6m + 5}}{{m + 1}} - \dfrac{{2\left[ {2m - 3} \right]}}{{m + 1}} + \dfrac{{m + 1}}{{m + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6m + 5 - 4m + 6 + m + 1}}{{m + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 12}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < - 1\end{array}\]
Vậy kết hợp lại ta có: \[ - 4 < m < - 1\].
Chọn A.
Giải thích các bước giải:
Đặt t=2^x [t>0] khi đó phương trình đã cho trở thành
\[{t^2} - mt + 2m - 5 = 0 [1]\]
Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi và chỉ khi pt [1] có 2 nghiệm lớn hơn 0
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left[ {2m - 5} \right] > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}.{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 20 > 0\\m > 0\\2m - 5 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{5}{2}\]
Lại có:
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0 \Rightarrow 0 < t < 1\\x > 0 \Rightarrow t > 1
\end{array} \right.\]
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình [1] có 1 nghiệm >1 và 1 nghiệm