Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 11 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Bảng công thức lượng giác thật sự là một vấn đề khá nan giải đối với các em học sinh “lười học công thức”. Tuy nhiên, học lượng giác mà không nắm rõ công thức thì thật sự rất khó để làm bài tập. Dưới đây là hệ thống lại các công thức lượng giác cần thiết cơ bản, cũng như nâng cao. Chỉ cần nắm vững các công thức dưới đây, các em hoàn toàn có thể giải quyết bài tập một cách nhanh gọn. Hãy tải công thức về ở dạng file pdf sau đó áp dụng những phương pháp học thuộc mà chúng tôi giới thiệu dưới đây nhé!
TẢI XUỐNG PDF ↓
Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng
Công thức cơ bản nhất
- \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]
- \[\tan \alpha .\cot \alpha =1\]
- \[1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\]
- \[1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\]
Công thức cộng
- \[\sin [a+b]=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a\]
- \[\sin [a-b]=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a\]
- \[\cos [a+b]=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\]
- \[\cos [a-b]=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b\]
Công thức nhân đôi
- \[\sin 2\alpha =2.\sin \alpha .\cos \alpha \]
- \[\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2.{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha \]
- \[\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }\]
- \[\cot \alpha =\frac{{{\cot }^{2}}\alpha -1}{2\cot \alpha }\]
Hệ quả công thức hạ bậc bậc hai
- \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\]
- \[{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\]
- \[{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\]
Công thức nhân ba
- \[\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \]
- \[\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha \]
- \[\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{{\tan }^{3}}\alpha }{1-3{{\tan }^{2}}\alpha }\]
Hệ quả: Công thức hạ bậc bậc ba:
- \[{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}.3\sin \alpha -\sin 3\alpha \]
- \[{{\cos }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}.3cos\alpha +\cos 3\alpha \]
Công thức biến đổi tổng thành tích
- \[\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}\]
- \[\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}\]
- \[\sin a+\sin b=2.\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}\]
- \[\sin a-\sin b=2.\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}\]
Công thức biến đổi tích thành tổng
- \[\cos a.\cos b=\frac{1}{2}[\cos [a-b]+cos[a+b]]\]
- \[\sin a.\sin b=\frac{1}{2}[\cos [a-b]-\cos [a+b]]\]
- \[\sin a.\cos b=\frac{1}{2}[\sin [a-b]+\sin [a+b]]\]
Công thức lượng giác biểu diễn theo tan
- \[\sin \alpha =\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\]
- \[\cos \alpha =\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\]
- \[\tan \alpha =\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}\]
Công thức lượng giác bổ sung
- \[\cos \alpha \pm \sin \alpha =\sqrt{2}.\cos \left[ \alpha \pm \frac{\pi }{4} \right]=\sqrt{2}.sin\left[ \frac{\pi }{4}\pm \alpha \right]\]
- \[\sin \alpha \pm \cos \alpha =\sqrt{2}.sin\left[ \alpha \pm \frac{\pi }{4} \right]=\sqrt{2}.\cos \left[ \frac{\pi }{4}\mp \alpha \right]\]
- \[1+\sin 2\alpha ={{[\cos \alpha +\sin \alpha ]}^{2}}\]
- \[\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{2}{\sin 2\alpha }\]
- \[\cot \alpha -\tan \alpha =2\cot 2\alpha \]
- \[{{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2\alpha =\frac{1}{4}\cos 4\alpha +\frac{3}{4}\]
- \[{{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =1-\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2\alpha =\frac{3}{8}\cos 4\alpha +\frac{5}{8}\]
Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi
Hơn kém bội hai pi của sin và cos và tang, cotang hơn kém bội pi.
- Sin[a+k.2.180] = sin [a+k.2.pi] = sin a
- Cos[a+k.2.180] = cos [a+k.2.pi] = sin a
- Tg[a+k.180] = tga
- Cotg[a+k.180]=cotga
Giá trị lượng giác đặc biệt của các cung liên quan
Cung đối nhau
\[\sin [-\alpha ]=-sin\alpha \]
\[\cos [-\alpha ]=\cos \alpha \]
\[\tan [-\alpha ]=-\tan \alpha \]
\[\cot [-\alpha ]=-\cot \alpha \]
Cung bù nhau
- \[\sin [\pi -\alpha ]=\sin \alpha \]
- \[\cos [\pi -\alpha ]=-\cos \alpha \]
- \[\tan [\pi -\alpha ]=-\tan \alpha \]
- \[\cot [\pi -\alpha ]=-\cot \alpha \]
Cùng phụ nhau
- \[\sin [\frac{\pi }{2}-\alpha ]=\cos \alpha \]
- \[\cos [\frac{\pi }{2}-\alpha ]=\sin \alpha \]
- \[\tan [\frac{\pi }{2}-\alpha ]=\cot \alpha \]
- \[\cot [\frac{\pi }{2}-\alpha ]=\tan \alpha \]
Góc hơn kém nhau pi
- \[\sin [\pi +\alpha ]=-\sin \alpha \]
- \[\cos [\pi +\alpha ]=-\cos \alpha \]
- \[\tan [\pi +\alpha ]=\tan \alpha \]
- \[\cot [\pi +\alpha ]=\cot \alpha \]
Góc hơn kém pi/2
- \[\sin \left[ \frac{\pi }{2}+\alpha \right]=\cos \alpha \]
- \[\cos \left[ \frac{\pi }{2}+\alpha \right]=-\sin \alpha \]
- \[\tan \left[ \frac{\pi }{2}+\alpha \right]=-\cos \alpha \]
- \[\cot \left[ \frac{\pi }{2}+\alpha \right]=-\tan \alpha \]
Xem thêm: Bảng giá trị lượng giác từ 0 độ đến 360 độ
Học thuộc công thức lượng giác bằng thơ
Bài thơ công thức cộng lượng giác
Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin rõ ràng
Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!
Bài thơ công thức nhân đôi
Bài thơ của cos và sin
Sin gấp đôi bằng hai sin cos
Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin
Bằng trừ một cộng hai bình cos
Bằng cộng một trừ hai bình sin
Bài thơ của tan
Tang đôi ta lấy đôi tang
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
Bài thơ công thức nhân ba
Bài 1
cos 3x bằng 4 cỏn trừ 3 con
sin 3x bằng 3 sin trừ 4 sỉn
Bài 2
Nhân ba một góc bất kỳ,
sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,
dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn,
… thế là okee
Bài thơ công thức tổng thành tích
Đối với các hệ số khi khai triển
Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin.
Ghi nhớ cho: Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau [ nhớ thứ tự \[\frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}\]]
Bài thơ công thức tích thành tổng
Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau
Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ
Cos thì cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin
Một phần hai phải nhân vào, chớ quên
Bài thơ công thức biến đổi theo tan:
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một + bình tê [1+t^2]
Sin thì tử có 2 tê [2t],
cos thì tử có 1 trừ bình tê [1-t^2].
Cách nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt
- Sin bù: Sin[180-a]=sina.
- Cos đối: Cos[-a]=cosa.
- Hơn kém pi tang: Tan[a+180] = tan a.
- Cotg [a+180] = cotga.
- Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia. Ví dụ tan góc này = cotg góc kia.
Định nghĩa góc và cung lượng giác
Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Trên đường tròn đó ta cho hai điểm A, B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều âm hoặc dương từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A và điểm cuối B. Theo dõi hình vẽ dưới đây:
Định nghĩa về góc lượng giác trong các công thức lượng giác
Trên đường tròn cố định cho một cung lượng giác \[\overset\frown{CD}\]. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là [OC,OD].
Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn này cắt trục tọa độ tại bốn điểm A [1;0], A'[-1;0], B[0;1], B'[0;-1]. Ta lấy A[1;0] làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn như trên được gọi là đường tròn đường tròn lượng giác gốc A.
So sánh độ và radian
- Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong toán học và vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo cung, đó là rađian.
- Định nghĩa: Trên một đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
- Quan hệ giữa độ và radia: Bằng một vài chứng minh đơn giản, ta hoàn toàn có thể chứng minh được công thức sau:
Bảng chuyển đổi thông dụng
Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác là một số thực, âm hoặc dương. Số đo lượng giác của các cung có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội số 2pi. Ta viết:
Công thức số đo của một góc lượng giác
Ta định nghĩa: Số đo của một góc lượng giác [OA,OC] là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
Biểu diễn cung lượng giác lên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A[1;0] làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo anlpha trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức số đo AM = anlpha
Giá trị lượng giác của cung anlpha
Trên đường tròn lượng giác cho cung \[\overset\frown{AM}=\alpha \]. Tung độ \[y=\overline{OK}\]. Điểm M dược gọi là sin của \[\alpha \] và kí hiệu là \[\sin \alpha \]. Hoành độ \[x=\overline{OH}\] thì điểm M gọi là cosin của anlpha và được kí hiệu là \[\sin \alpha \].
\[\sin \alpha =\overline{OK}\]
Các giá trị \[\sin \alpha ;\cos \alpha ;\tan \alpha ;\cot \alpha \] được gọi là các giá trị lượng giác của cung \[\alpha \].
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục cosin.
Các định nghĩa trên được áp dụng cho các góc lượng giác
Nếu \[\alpha \] nằm trong khoảng 0 đến 180 độ, thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK hình học lớp 10.
Do đó, ta có một số hệ quả sau về công thức lượng giác và giá trị lượng giác liên quan đến góc:
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Ý nghĩa hình học của \[\tan \alpha \]
Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc A và vec tơ đơn vị …
Cho cung lượng giác AM có số đo là anpla. Gọi T là giao điểm của OM với trục tung t’At. Giả sử T không trùng với A. Vì MH song song với AT, nên ta có
\[\frac{AT}{HM}=\frac{OA}{OH}\] suy ra \[\frac{\overline{AT}}{\overline{HM}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OH}}\]
Vậy, \[\tan \alpha \] được biểu diễn bởi độ dài đại số của véc tơ AT trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.
Trắc nghiệm công thức lượng giác
Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong tất tần tật những công thức lượng giác hay nhất. Phải nói rằng, đây là bảng công thức lượng giác mà tailieure.com tâm huyết nhất từ trước đến giờ. Mong rằng với bảng này, các em học sinh sẽ không phải lo nghĩ gì khi gặp các bài toán lượng giác khó chịu. Bài viết còn có rất rất nhiều mẹo học lượng giác cực hay, do đó bạn nào có chứng hay quên giống admin thì cứ đọc thơ là sẽ thuộc mau nhớ dai nhé. Đừng quên ủng hộ website bằng cách ghé thăm lại nhiều lần. Tài liệu rẻ rất biết ơn nếu bạn chia sẽ những tài liệu này đến mọi người xung quanh. Lời cuối chúc các đọc giả thân mến học thật tốt.
Từ khóa của bài viết:
- bảng công thức lượng giác đầy đủ file word
- các công thức lượng giác nâng cao
- công thức lượng giác mở rộng
- công thức lượng giác lớp 9
- công thức lượng giác lớp 10 cần nhớ
- các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao
- bảng lượng giác đặc biệt
Nguồn bài viết sưu tầm:
1/ //www.facebook.com/notes/h%E1%BB%8Dc-v%C3%A0-h%C3%A0nh/nh%E1%BB%9B-c%C3%B4ng-th%E1%BB%A9c-l%C6%B0%E1%BB%A3ng-gi%C3%A1c-b%E1%BA%B1ng-nh%E1%BB%AFng-c%C3%A2u-th%C6%A1-%C4%91%C6%A1n-gi%E1%BA%A3n/361921053950747/
2/ //khcb.tnus.edu.vn/chi-tiet/1242-GHI-NHO-CONG-THUC-LUONG-GIAC-BANG-THO