\[\eqalign{ & {\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \]
Đề bài
Chứng tỏ rằng với \[a\] và \[b\] là các số bất kì thì :
a] \[{a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\];
b] \[\displaystyle {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi đưa về hằng đẳng thức: \[[a-b]^2=a^2-2ab+b^2\]
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[{\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0\]
b] Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab \cr & \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr & \Rightarrow \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].{1 \over 2} \ge 2ab.{1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{{a^2} + {b^2}} \over 2} \ge ab \cr} \]