Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính \[AB\] cố định. \[C\] là điểm trên nửa đường tròn, trên dây \[AC\] kéo dài lấy điểm \[D\] sao cho \[CD = CB.\]
\[a]\] Tìm quỹ tích các điểm \[D\] khi \[C\] chạy trên nửa đường tròn đã cho.
\[b]\] Trên tia \[CA\] lấy điểm \[E\] sao cho \[CE = CB.\] Tìm quỹ tích các điểm \[E\] khi \[C\] chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích [tập hợp] các điểm \[M\] thỏa mãn tính chất \[\tau\] là một hình\[{\rm H}\]nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận:Mọi điểm có tính chất \[\tau\] đều thuộc hình \[\rm H.\]
Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình \[\rm H\] đều có tính chất \[\tau.\]
Kết luận:Quỹ tích [hay tập hợp] các điểm \[M\] có tính chất \[\tau\] là hình \[\rm H.\]
[Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \[\rm H\] trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm \[M\] tạo với hai mút của đoạn thẳng \[AB\] cho trước một góc \[AMB\] bằng \[\alpha\] \[[\alpha\] không đổi \[]\] là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \[AB\] [gọi là cung chứa góc \[\alpha\] vẽ trên đoạn \[AB\]]].
Lời giải chi tiết
\[a]\] Chứng minh thuận:
Ta có: \[\widehat {ACB} = 90^\circ \][góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Suy ra: \[\widehat {BCD} = 90^\circ \]
\[CD = CB [gt]\]
Suy ra: \[BCD\] vuông cân tại \[C.\]
\[ \Rightarrow \widehat {CDB} = 45^\circ \] hay \[\widehat {ADB} = 45^\circ \]
\[AB\] cố định. Khi \[C\] chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \[AB\] thì \[D\] chuyển động trên cung chứa góc \[45^\circ \] dựng trên đoạn thẳng \[AB\] cố định.
Ta có dây \[AC\] thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm \[C\] trên nửa đường tròn đường kính \[AB.\]
Dây \[AC\] lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi \[C\] trùng với \[B\] khi đó \[D\] trùng với \[B.\] Vậy \[B\] là điểm của quỹ tích.
Dây \[AC\] nhỏ nhất có độ dài bằng \[0\] khi \[C\] trùng với \[A,\] thì khi đó \[D\] trùng với \[B\] là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính \[AB\] tại \[A\] với cung chứa góc \[45^\circ\] vẽ trên \[AB.\]
Chứng minh đảo:
Lấy điểm \[D\] tùy ý trên cung \[BB,\] nối \[AD\] cắt đường tròn đường kính \[AB\] tại \[C.\] Nối \[BC, BD.\]
Ta có: \[\widehat {AD'B} = 45^\circ \] [vì \[D\] nằm trên cung chứa góc \[45^\circ\] vẽ trên \[AB\]].
Trong đường tròn đường kính \[AB\] ta có:
\[\widehat {AC'B} = 90^\circ \][góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \widehat {BC'D'} = 90^\circ \]
Suy ra: \[BCD\] vuông cân tại \[C\]
\[ \Rightarrow CB = CD\]
Vậy quỹ tích các điểm \[D\] khi \[C\] chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \[AB\] là cung \[\overparen{BB'}\] nằm trên cung chứa góc\[45^\circ\] vẽ trên đoạn \[AB,\] trong nửa mặt phẳng bờ \[AB\] có chứa điểm \[C.\]
\[b]\] Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính \[AB\] ta có:
\[\widehat {ACB} = 90^\circ \][góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[CB = CE [gt]\]
\[ \Rightarrow CBE\] vuông tại \[C\]
\[ \Rightarrow \widehat {CEB} = 45^\circ \]
\[\widehat {CEB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {AEB} = 135^\circ \]
\[AB\] cố định, \[C\] chuyển động trên đường tròn đường kính \[AB\] thì \[E\] chuyển động trên cung chứa góc\[135^\circ\] dựng trên đoạn \[AB\] cố định.
Khi dây \[AC\] có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì \[C\] trùng với \[B\] nên \[E\] trùng với \[B\] \[ \Rightarrow \] \[B\] là \[1\] điểm của quỹ tích.
Khi dây \[AC\] có độ dài nhỏ nhất bằng \[0\] thì \[C\] trùng với \[A.\] Khi đó \[E\] trùng \[A\] nên \[A\] là \[1\] điểm của quỹ tích.
Vậy \[E\] chuyển động trên \[1\] cung chứa góc\[135^\circ\] vẽ trên đoạn \[AB\] nằm trên nửa mặt phẳng bờ \[AB\] chứa điểm \[C.\]
Chứng minh đảo:
Lấy \[E\] bất kỳ trên cung chứa góc\[135^\circ .\] Kẻ \[AE\] cắt đường tròn đường kính \[AB\] tại \[C.\] Nối \[BE, BC.\]
Ta có: \[\widehat {AE'B} = 135^\circ \][vì \[E\] nằm trên cung chứa góc \[135^\circ\] vẽ trên \[AB\]]
Lại có: \[\widehat {AE'B} + \widehat {BE'C} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[ \Rightarrow \widehat {BE'C'} = 180^\circ - \widehat {AE'B} \]\[= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]
Trong đường tròn đường kính \[AB\] ta có:
\[\widehat {AC'B} = 90^\circ \][góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Suy ra: \[ECB\] vuông cân tại \[C.\]
\[ \Rightarrow C'E' = C'B\]
Vậy quỹ tích các điểm \[E\] khi \[C\] chuyển động trên đường tròn đường kính \[AB\] là một cung chứa góc\[135^\circ\] vẽ trên đoạn \[AB\] nằm trên nửa mặt phẳng bờ \[AB\] chứa điểm \[C.\]