Đề bài
Gọi \[MH\] là đường cao của tam giác \[MNP.\] Chứng minh rằng: Nếu \[MN < MP\] thì \[HN < HP\] và \[\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\] [yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc \[N\] nhọn và khi góc \[N\] tù].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu.
- Áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Lời giải chi tiết
- Khi góc \[N\] nhọn [hình a] : \[H\] nằm giữa \[N\] và \[P.\] Hình chiếu của \[MN\] và \[MP\] lần lượt là \[HN\] và \[HP.\]
Theo giả thiết \[MN < MP\] suy ra \[ HN < HP\] [quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu].
Trong tam giác \[MNP\], do \[MN < MP\] nên \[\widehat {MPN} < \widehat {MNP}\] [1] [quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác]
Mặt khác trong các tam giác vuông \[MHN\] và \[MHP\], ta có
\[\widehat {NMH} + \widehat {MNH} \]\[=\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\]
- Khi góc \[N\] tù [hình b] : \[H\] nằm trên tia đối của tia \[NP\] hay điểm \[N\] ở giữa \[H\] và \[P\]
Từ \[MN