Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] với \[H\] là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \[AB, BH\] và \[AH\] lần lượt là: \[4x + y 12 = 0, 5x 4y 15 = 0\] và \[2x + 2y 9 = 0\]
Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
\[A = AH \cap AB\] nên tọa độ đỉnh \[A\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{2}\\
y = 2
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow A[{5 \over 2},2]\]
\[BH : 5x 4y 15 = 0\] \[\Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left[ {5; - 4} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_{BH}}} = \left[ {4;5} \right]\]
\[AC \bot BH \Rightarrow AC\]nhận \[\overrightarrow {{u_{BH}}} = \left[ {4;5} \right]\] làm một vecto pháp tuyến.
Mà \[AC\] đi qua \[A[{5 \over 2},2]\] nên \[AC:4.[x - {5 \over 2}] + 5[y - 2] = 0 \]\[\Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\]
\[B = AB \cap BH\] nên tọa độ đỉnh \[B\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 0
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow B[3,0]\]
\[AH: 2x + 2y 9 = 0\] có \[\overrightarrow {{n_{AH}}} = \left[ {2;2} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AH}}} = \left[ {1; - 1} \right]\] là VTCP.
\[BC \bot AH\] nên nhận \[\overrightarrow {{u_{AH}}} = \left[ {1; - 1} \right]\]làm VTPT
\[ \Rightarrow BC:- 1[x - 3] + [y - 0] = 0 \]\[\Leftrightarrow x - y - 3 = 0\]
\[H = BH \cap AH\] nên tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{11}}{3}\\
y = \dfrac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left[ {\dfrac{{11}}{3};\dfrac{5}{6}} \right]\]
\[AB:4x + y - 12 = 0\] \[\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left[ {4;1} \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left[ {1; - 4} \right]\] là VTCP của \[AB\].
\[CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}} = \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left[ {1; - 4} \right]\] là VTPT của \[CH\].
Mà \[CH\] đi qua \[H\] nên:
\[CH:1\left[ {x - \dfrac{{11}}{3}} \right] - 4\left[ {y - \dfrac{5}{6}} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow x - 4y - \dfrac{1}{3} = 0\] \[ \Leftrightarrow 3x - 12y - 1 = 0\]
Vậy:\[AC: 4x + 5y - 20 = 0\]
\[ BC:x - y - 3 = 0\]
\[CH: 3x - 12y - 1 = 0\]