Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[-2 ; 6 ; 3], B[1 ; 0 ; 6], C[0; 2 ; -1], D[1 ; 4 ; 0]\]
LG a
a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và nhận\[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\] là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh\[A \notin \left[ {BCD} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = [-1; 2; -7]\], \[\overrightarrow {BD}= [0; 4; -6]\]
Xét vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\] \[\Rightarrow \overrightarrow a = [16; - 6; - 4] = 2[8; - 3; - 2]\]
Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và nhận \[\overrightarrow {a'} = [8; -3; -2]\] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
\[8[x - 1] -3y - 2[z - 6] = 0\] \[\Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\]
Thay toạ độ của \[A\] vào phương trình của \[[BC]\] ta có:
\[8.[-2] - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 0\]
Điều này chứng tỏ điểm \[A\] không thuộc mặt phẳng \[[BCD]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, và \[ABCD\] là một tứ diện.
LG b
b] Tính chiều cao \[AH\] của tứ diện \[ABCD\]
Phương pháp giải:
\[AH = d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Chiều cao \[AH\] của tứ diện chính là khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[[BCD]\]:
\[AH = d[A,[BCD]]\] = \[{{\left| {8.[ - 2] - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{[ - 3]}^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\]
LG c
c] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và song song với \[CD\].
Phương pháp giải:
\[{\overrightarrow n _{\left[ \alpha \right]}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\] là 1 VTPT của mặt phẳng \[[\alpha]\] và\[[\alpha]\] đi qua A.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [3; - 6; 3]\], \[\overrightarrow {CD} = [ 1; 2; 1]\]
Mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và \[CD\] chính là mặt phẳng đi qua \[A[-2; 6; 3]\] và nhận cặp vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {CD} \]làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\]
Ta có:\[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 6;3} \right];\,\,\overrightarrow {CD} = \left[ {1;2;1} \right]\]
\[\Rightarrow \overrightarrow n \]= \[[-12; 0; 12] = -12[1; 0; -1]\]
Vậy phương trình của \[[α]\] là:
\[1[x + 2] + 0[y - 6] - 1[z - 3] = 0 \]\[\Leftrightarrow x - z + 5 = 0\]