Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
LG a
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[\displaystyle [C]\] của hàm số \[\displaystyle f[x] = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\]
Phương pháp giải:
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm \[y\]
+ Tại các điểm đó đạo hàm \[y\] bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm \[y\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận [nếu có]
- Lập bảng biến thiên [Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên]
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \[T\] thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \[Ox\]
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y = \[\displaystyle f[x] = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\] \[\displaystyle [C]\]
Tập xác định: \[\displaystyle D =\mathbb R\]
* Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y = 2x^3-6x = 2x[x^2 3]\]
\[\displaystyle \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\displaystyle [-\infty;-\sqrt3]\] và \[\displaystyle [0;\sqrt3]\], đồng biến trên khoảng \[\displaystyle [-\sqrt 3;0]\] và \[\displaystyle [\sqrt3;+\infty]\].
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[\displaystyle x=0\]; \[\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \[\displaystyle x=-\sqrt3\] và \[\displaystyle x=\sqrt3\]; \[\displaystyle y_{CT}=y\,[\pm\sqrt3]=-3\]
- Giới hạn:
\[\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = + \infty \]
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục \[\displaystyle Oy\] làm trục đối xứng.
LG b
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\displaystyle [C]\] tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \[\displaystyle f[x] = 0.\]
Phương pháp giải:
Giải phương trình \[\displaystyle f''[x]=0\] để tìm \[\displaystyle x_0.\] Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[\displaystyle [C]\] theo công thức: \[\displaystyle y=y'[x_0][x-x_0]+y[x_0].\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle y = 6x^2 6\]
\[\displaystyle \Rightarrow y = 0 6x^2 6 = 0 \] \[ x^2 -1 =0 x = ± 1.\]
Có \[\displaystyle y[-1] = 4; \, \, y[1] = -4; \, \, y[± 1] = -1\]
Tiếp tuyến của \[\displaystyle [C]\] tại điểm \[\displaystyle [-1, -1]\] là : \[\displaystyle y = 4[x+1] 1= 4x+3.\]
Tiếp tuyến của \[\displaystyle [C]\] tại điểm \[\displaystyle [1, -1]\] là: \[\displaystyle y = -4[x-1] 1 = -4x + 3.\]
LG c
c] Biện luận theo tham số \[\displaystyle m\] số nghiệm của phương trình: \[\displaystyle x^4-6x^2+3 = m.\]
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng: \[\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}.\] Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a] để biện luận số nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m \] \[\displaystyle \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\][1]
Số nghiệm của [1] là số giao điểm của \[\displaystyle [C]\] và đường thẳng \[d\] : \[\displaystyle y = {m \over 2}\]
Từ đồ thị ta thấy:
\[\displaystyle \frac{m}{2} 3\]thì \[d\] và\[[C]\] có 2 điểm chung nên [1] có 2 nghiệm.
Vậy:
+] \[m < - 6\] thì phương trình vô nghiệm.
+] \[m = - 6\] hoặc \[m > 3\] thì PT có 2 nghiệm.
+] \[m = 3\] thì PT có 3 nghiệm.
+] \[ 6 < m < 3\] thì PT có 4 nghiệm.