Đề bài
Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: \[a\sin x + b \cos x = c\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nêu cách giải phương trình thuần nhất đối với sin và cos.
Lời giải chi tiết
_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:
\[\eqalign{
& \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha ,k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \]
Hoặc:
\[\eqalign{
& \sin x = a \left[ {\left| a \right| \le 1} \right]\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr
& \cos x = a \left[ {\left| a \right| \le 1} \right]\Leftrightarrow x = \pm \arccos a,k \in \mathbb Z \cr
& \tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr
& \cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr} \]
_ Phương trình dạng : \[a \sin x + b \cos x = c\] [*]
Cách giải:
+ Chia cả hai vế của phương trình [*] cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
\[Pt \Leftrightarrow {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}[**]\]
Vì \[{\left[ {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right]^2} + {\left[ {{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right]^2} = 1\] nên ta đặt:
\[\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
+ Khi đó phương trình [**]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \Leftrightarrow \sin [x + \alpha ] = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr} \]
Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.