Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
LG a
a] \[f[x] = 2x^3 3x^2 12x + 1\] trên đoạn \[\displaystyle \left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\]
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] ta làm như sau:
+] Tìm các điểm \[{{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\] thuộc đoạn \[\left[ a;\ b \right]\] mà tại đó hàm số có đạo hàm \[f'\left[ x \right]=0\] hoặc không có đạo hàm.
+] Tính \[f\left[ {{x}_{1}} \right];\ \ f\left[ {{x}_{2}} \right];\ \ f\left[ {{x}_{3}} \right];...;\ \ f\left[ {{x}_{n}} \right]\] và \[f\left[ a \right];\ f\left[ b \right].\]
+] So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \[y=f\left[ x \right]\] trên \[\left[ a;\ b \right]\].
\[\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left[ x \right]=\max \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{n}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left[ x \right]=\min \left\{ f\left[ {{x}_{1}} \right];...;\ f\left[ {{x}_{n}} \right];\ f\left[ a \right];\ f\left[ b \right] \right\}. \\ \end{align}\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x] = 2x^3 3x^2 12x + 1 \] \[ f[x] = 6x^2 6x 12\]
\[f[x] = 0 x =-1\] hoặc \[x=2\]
So sánh các giá trị:
\[f[-2] = -3\]; \[ f[-1] = 8\];
\[f[2] = -19\], \[\displaystyle f[{5 \over 2}] = {{ - 33} \over 2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[ - 1] = 8 \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f[x] = f[2] = - 19 \cr} \]
LG b
b] \[ f[x] = x^2\ln x\] trên đoạn \[\left[ {1; \, e} \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x] = x^2 \ln x \] \[ f[x]= 2x\ln x + x > 0, x [1, e]\] nên \[f[x]\] đồng biến.
Do đó:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[e] = {e^2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f[x] = f[1] = 0 \cr} \]
LG c
c] \[f[x] = xe^{-x}\] trên nửa khoảng \[[0; \, +].\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x]= xe^{-x}\] \[ f[x]=e^{-x}xe^{-x}= [1 x]e^{-x}\]nên:
\[f[x] = 0 x = 1, f[x] > 0, x [0, 1]\] và \[f[x] < 0, x [1, +]\]
nên: \[\displaystyle \mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[1] = {1 \over e}.\]
Ngoài ra \[f[x]= xe^{-x} \ge 0, x [0, +]\] và \[f[0] = 0\] suy ra
\[\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty ]} f[x] = f[0] = 0\]
LG d
d] \[f[x] = 2\sin x + \sin 2x\] trên đoạn \[\displaystyle\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x] = 2\sin x + \sin2 x \] \[ f[x]= 2\cos x + 2\cos 2x\]
\[f[x] = 0 \cos 2x = -\cos x \] \[ 2x = ± [π x] + k2π\]
\[ \displaystyle x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\]
Trong khoảng \[\displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\], phương trình \[f[x] = 0\] chỉ có hai nghiệm là \[\displaystyle {x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \]
So sánh bốn giá trị: \[f[0] = 0\]; \[\displaystyle f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2};f[\pi ] = 0;f[{{3\pi } \over 2}] = - 2\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{\pi \over 3}] = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {\min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f[x] = f[{{3\pi } \over 2}] = - 2 \cr} \]