- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
- LG bài 4
- LG bài 5
Đề bài
Câu 1 [2,5 điểm]:Cho hai biểu thức\[A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\]và \[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\]với \[x > 0,\,\,x \ne 9\]
1] Tính giá trị của biểu thứcAkhi \[x = 3\]
2] Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\]
3] So sánh \[\frac{A}{B}\] và 4.
Câu 2 [2,5 điểm]:Cho hàm số \[y = \left[ {m + 1} \right]x + m\] [với \[m \ne - 1\]có đồ thị là đường thẳng \[\left[ d \right]\]
1] Tìm giá trị củamđể đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1
2] Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng \[\left[ d \right]\] với giá trị m tìm được ở câu 1
3] Tìm giá trị củamđể đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt đường thẳng \[y = 3x + 2\] tại một điểm nằm trên trục hoành
Câu 3 [1,0 điểm]:
Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\\\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\]
Câu 4 [3,5 điểm]:Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] và một điểmHcố định nằm ngoài đường tròn. QuaHkẻ đường thẳngdvuông góc với đoạn thẳngOH. Từ một điểmSbất kì trên đường thẳngdkẻ hai tiếp tuyếnSA, SBvới đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] [A, Blà tiếp điểm]. GọiM,Nlần lượt là giao điểm của đoạn thẳngSOvới đoạn thẳngABvà với đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\].
1] Chứng minh bốn điếmS, A, O, Bcùng nằm trên một đường tròn
2] Chứng minh \[OM.OS = {R^2}\]
3] Chứng minhNlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB
4] Khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường nào? Tại sao?
Câu 5 [0,5 điểm]:Cho ba số thực dương \[x,\,y,\,z\] thỏa mãn \[x + y + z = 1\]
Chứng minh rằng \[P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\]
LG bài 1
Lời giải chi tiết:
Cho hai biểu thức\[A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\]và\[B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\]với\[x > 0,\,\,x \ne 9\]
1] Tính giá trị của biểu thứcAkhi\[x = 3\]
Khi \[x = 3\]thì \[A = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 9}}{{\sqrt 3 - 3}} = \frac{{\left[ { - 5 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 3 - 3} \right]}}{{\sqrt 3 - 3}} = - 5 - \sqrt 3 \]
2] Chứng minh\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\]
\[\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}} \\\;\;\;= \dfrac{{{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]}^2} + \sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right] - \left[ {x + 9} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 6\sqrt x + 9 + x - 3\sqrt x - x - 9}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} \\\;\;\;= \dfrac{{x + 3\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 3} \right]\left[ {\sqrt x + 3} \right]}} \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\]
3] So sánh\[\frac{A}{B}\]và 4.
\[\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x - 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \[\sqrt x \]và \[\frac{9}{{\sqrt x }}\] ta có: \[\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}} = 2.3 = 6.\]
\[ \Rightarrow \frac{A}{B} = \left[ {\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right] - 2 \ge 6 - 2 = 4.\]
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left[ {tm} \right].\]
Vậy \[\frac{A}{B} \ge 4\].
LG bài 2
Lời giải chi tiết:
Cho hàm số \[y = \left[ {m + 1} \right]x + m\] [với \[m \ne - 1\] có đồ thị là đường thẳng \[\left[ d \right]\]
1] Tìm giá trị củamđể đường thẳng\[\left[ d \right]\]cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1
Để đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1\[ \Rightarrow \] Điểm \[A\left[ {0;1} \right]\] thuộc \[\left[ d \right]\]
\[ \Rightarrow 1 = \left[ {m + 1} \right]0 + m \Leftrightarrow m = 1\].
Vậy với \[m = 1\]đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1.
2] Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng\[\left[ d \right]\]với giá trị m tìm được ở câu 1
Với \[m = 1\] thì \[\left[ d \right]:\,y = 2x + 1\]
Ta có:
|
x |
0 |
1 |
|
\[y = 2x + 1\] |
1 |
3 |
Cho hàm số \[y = \left[ {m + 1} \right]x + m\] [với \[m \ne - 1\] có đồ thị là đường thẳng \[\left[ d \right]\]
1] Tìm giá trị củamđể đường thẳng\[\left[ d \right]\]cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1
Để đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1\[ \Rightarrow \] Điểm \[A\left[ {0;1} \right]\] thuộc \[\left[ d \right]\]
\[ \Rightarrow 1 = \left[ {m + 1} \right]0 + m \Leftrightarrow m = 1\].
Vậy với \[m = 1\]đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1.
2] Trên mặt phẳng tọa độOxy, vẽ đường thẳng\[\left[ d \right]\]với giá trị m tìm được ở câu 1
Với \[m = 1\] thì \[\left[ d \right]:\,y = 2x + 1\]
Ta có:
|
x |
0 |
1 |
|
\[y = 2x + 1\] |
1 |
3 |
Đồ thị hàm số \[\left[ d \right]:\,y = 2x + 1\] là đường thẳng đi qua hai điểm \[\left[ {0;1} \right]\] và \[\left[ {1;3} \right]\]
3] Tìm giá trị củamđể đường thẳng\[\left[ d \right]\]cắt đường thẳng\[y = 3x + 2\]tại một điểm nằm trên trục hoành
Gọi đường thẳng \[\left[ d \right]\] cắt đường thẳng \[y = 3x + 2\] tại một điểmBnằm trên trục hoành
\[ \Rightarrow \]Blà giao điểm của đường thẳng \[y = 3x + 2\] với trục hoành \[ \Rightarrow \,\,B\left[ { - \frac{2}{3};0} \right]\]
VìBcũng thuộc \[\left[ d \right]\]\[ \Rightarrow 0 = \left[ {m + 1} \right]\left[ { - \frac{2}{3}} \right] + m \Leftrightarrow \frac{1}{3}m - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 2\]
Vậy với \[m = 2\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
LG bài 3
Lời giải chi tiết:
Giải hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\\\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 1\\\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y} \right] - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\\sqrt 2 + 1 - \left[ {\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\ - y - y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\ - 2y = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y\\y = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\end{array}\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là\[\left[ {x;y} \right] = \left[ {1;0} \right]\]
LG bài 4
Lời giải chi tiết:
Cho đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] và một điểmHcố định nằm ngoài đường tròn. QuaHkẻ đường thẳngdvuông góc với đoạn thẳngOH. Từ một điểmSbất kì trên đường thẳngdkẻ hai tiếp tuyếnSA, SBvới đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\] [A, Blà tiếp điểm]. GọiM,Nlần lượt là giao điểm của đoạn thẳngSOvới đoạn thẳngABvà với đường tròn \[\left[ {O;R} \right]\].
1] Chứng minh bốn điếmS, A, O, Bcùng nằm trên một đường tròn
Ta cóSA,SBlà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]\[ \Rightarrow \angle OAS = \angle OBS = {90^o}\]
\[ \Rightarrow \]A, Bcùng thuộc đường tròn đường kínhOS
\[ \Rightarrow \]A, B, O, Scùng thuộc một đường tròn đường kínhOS.
2]Chứng minh\[OM.OS = {R^2}\]
Ta cóSA, SBlà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] cắt nhau tạiS
\[ \Rightarrow \]\[SA = SB\] vàSOlà phân giác \[\angle ASB\] [tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau]
\[ \Rightarrow \Delta SAB\] là tam giác cân tạiS.
\[ \Rightarrow \]SOvừa là phân giác \[\angle ASB\] vừa là đường trung trực củaAB[tính chất tam giác cân]
\[ \Rightarrow SO \bot AB\] tạiM.
\[ \Rightarrow \]AMlà đường cao trong tam giác OAS
Xét tam giácOASvuông tạiA, đường caoAMta có:
\[OM.OS = O{A^2} = {R^2}\][hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông]
3] Chứng minhNlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB
Có \[\angle OBS = {90^o}\] [SBlà tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\]]\[ \Rightarrow \angle OBN + \angle NBS = {90^o}\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Có \[SO \bot AB\] [chứng minh trên]\[ \Rightarrow \]Tam giácMNBvuông tạiM\[ \Rightarrow \angle MNB + \angle NBM = {90^o}\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Có \[ON = OB = R \Rightarrow \] Tam giácONBcân tạiO\[ \Rightarrow \angle MNB = \angle OBN\][tính chất tam giác cân] \[\left[ 3 \right]\]
Từ \[\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right] \Rightarrow \angle NBS = \angle NBM\]\[ \Rightarrow \]BNlà phân giác \[\angle SBA\]
Mặt khácSNlà phân giác \[\angle ASB\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau] và \[SN \cap BN = \left\{ N \right\}\]
\[ \Rightarrow \]Nlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácSAB.
4] Khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường nào? Tại sao?
Gọi \[HO \cap AB = \left\{ K \right\}\].
Xét \[\Delta OMK\] và \[\Delta OHS\] có: \[\angle O\]chung; \[\angle OMK = \angle OHS\,\,\,[ = {90^o}]\]
\[ \Rightarrow \Delta OMK \sim \Delta OHS\][g.g] \[ \Rightarrow \frac{{OK}}{{OS}} = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OK.OH = OM.OS = {R^2}\]
VìHcố định \[ \Rightarrow \]OHcố định màRcố định\[ \Rightarrow \]OKcố định.
Mặt khác \[\angle OMK = {90^o}\]\[ \Rightarrow \]Mthuộc đường tròn đường kínhOKcố định.
Vậy khi điểmSdi chuyển trên đường thẳngdthì điểmMdi chuyển trên đường tròn đường kínhOKcố định.
LG bài 5
Lời giải chi tiết:
Cho ba số thực dương \[x,\,y,\,z\] thỏa mãn \[x + y + z = 1\]
Chứng minh rằng\[P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 1\]
Với \[x,y,z > 0\] ta có: \[\frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} \le - {x^2}y + 6{y^3} - x{y^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} - xy\left[ {x + y} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {x + y} \right]{\left[ {x - y} \right]^2} \ge 0\]luôn đúng với mọi \[x,\;y > 0.\]
\[ \Rightarrow \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} \le 2y - x\]đúng với \[x,y,z > 0\]
Tương tự ta được \[\frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} \le 2z - y\,;\,\,\frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2x - z\]
\[ \Rightarrow P = \frac{{5{y^3} - {x^3}}}{{yx + 3{y^2}}} + \frac{{5{z^3} - {y^3}}}{{zy + 3{z^2}}} + \frac{{5{x^3} - {z^3}}}{{xz + 3{x^2}}} \le 2y - x + 2z - y + 2x - z = x + y + z = 1\]
Dấu = xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\]
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com