Đề bài
a] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Em hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
b] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ta có \[cung\,AM = cung\,BM \] \[\Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\].
Gọi \[H = AB \cap OM\].
Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:
\[OA = OB = R\];
\[\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\,\,\left[ {cmt} \right];\]
OH chung.
\[ \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left[ {c.g.c} \right] \] \[\Rightarrow AH = BH \]
\[\Rightarrow H\] là trung điểm của AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Mệnh đề đảo: Đường kính đi quan trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
Gọi H là trung điểm của AB ta có \[AH = BH\]. Kéo dài OH cắt đường tròn tâm O tại M.
Xét tam giác AOH và tam giác BOH có:
\[\begin{array}{l}OA = OB = R;\\OH\,\,chung;\\AH = BH\,\,\left[ {gt} \right];\\ \Rightarrow \Delta AOH = \Delta BOH\,\,\left[ {c.c.c} \right] \\\Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH}\end{array}\]
Hay \[\widehat {AOM} = \widehat {BOM} \]
\[\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \]
\[\Rightarrow M\]là điểm chính giữa của cung AB.
Vậy mệnh đề đảo đúng.
b] Theo ý a] ta chứng minh được \[\Delta AOH = \Delta BOH \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB}\].
Mà \[\widehat {OHA} + \widehat {OHB} = {180^0}\] [hai góc kề bù] \[ \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0} \Rightarrow OM \bot AB\] tại H.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
Ngược lại: Ta cần chứng minh đường kính vuông góc với 1 dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
Ta có \[OM \bot AB\] tại H.
Xét tam giác vuông OAH và tam giác vuông OBH có:
\[\begin{array}{l}OA = OB = R\\OH\,\,chung\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\Delta }OAH = {\Delta }OBH\] [cạnh huyền cạnh góc vuông] \[\Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} \]
\[\Rightarrow cung\,AM = cung\,BM \]
\[\Rightarrow M\]là điểm chính giữa của cung AB.