Đề bài
Giải các phương trình sau:
a] \[\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6\]
b] \[\dfrac{{2x - 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x - 1}}\]
c] \[\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\]
d] \[\dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng hai vế rồi khử mẫu thức
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện xác định với các kết quả vừa tìm được và kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết
a] \[\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}} + \dfrac{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = \dfrac{{6\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 1} \right]}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + {x^2} + x - 6 = 6\left[ {{x^2} - 3x + 2} \right]\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6 - 6{x^2} + 18x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow - 4{x^2} + 18x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 9 = 0;\\\,\,a = 2;b = - 9;c = 9\\\Delta = {\left[ { - 9} \right]^2} - 4.2.9 = 9 > 0;\sqrt \Delta = 3\end{array}\]
Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{{9 + 3}}{4} = 3\left[ {tm} \right];\]
\[{x_2} = \dfrac{{9 - 3}}{4} = \dfrac{3}{2}\left[ {tm} \right]\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm \[{x_1} = 3;{x_2} = \dfrac{3}{2}.\]
b] Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\2x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{x} + 3 = \dfrac{{x + 3}}{{2x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {2x - 1} \right]}^2}}}{{x\left[ {2x - 1} \right]}} + \dfrac{{3x\left[ {2x - 1} \right]}}{{x\left[ {2x - 1} \right]}} = \dfrac{{\left[ {x + 3} \right]x}}{{x\left[ {2x - 1} \right]}}\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x - 1} \right]^2} + 3x\left[ {2x - 1} \right] - \left[ {x + 3} \right]x = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 + 6{x^2} - 3x - {x^2} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 10x + 1 = 0;\\a = 9;b = - 10;c = 1\\Do\,\,a + b + c = 9 - 10 + 1 = 0\end{array}\]
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: \[{x_1} = 1\left[ {tm} \right];{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{9}\left[ {tm} \right]\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: \[{x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{1}{9}.\]
c] \[\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\]
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}t - 1 \ne 0\\t + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ne 1\\t \ne - 1\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{t^2}}}{{t - 1}} + t = \dfrac{{2{t^2} + 5t}}{{t + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2}\left[ {t + 1} \right]}}{{\left[ {t - 1} \right]\left[ {t + 1} \right]}} + \dfrac{{t\left[ {t - 1} \right]\left[ {t + 1} \right]}}{{\left[ {t - 1} \right]\left[ {t + 1} \right]}} = \dfrac{{\left[ {2{t^2} + 5t} \right].\left[ {t - 1} \right]}}{{\left[ {t + 1} \right]\left[ {t - 1} \right]}}\\ \Leftrightarrow {t^2}\left[ {t + 1} \right] + t\left[ {t - 1} \right]\left[ {t + 1} \right] - \left[ {2{t^2} + 5t} \right].\left[ {t - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t\left[ {{t^2} - 1} \right] - \left[ {2{t^3} - 2{t^2} + 5{t^2} - 5t} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + {t^3} - t - 2{t^3} - 3{t^2} + 5t = 0\\ \Leftrightarrow - 2{t^2} + 4t = 0\\ \Leftrightarrow t\left[ { - 2t + 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\ - 2t + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left[ {tm} \right]\\t = 2\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm là: \[{t_1} = 0;{t_2} = 2.\]
d] Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne 3\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{x - 2}}{{x + 3}} + 1 = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} + \dfrac{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}} = \dfrac{{\left[ {3x - 1} \right]\left[ {x + 3} \right]}}{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right]}}\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right] + \left[ {x + 3} \right]\left[ {x - 3} \right] = \left[ {3x - 1} \right]\left[ {x + 3} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 + {x^2} - 9 - \left[ {3{x^2} + 8x - 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 + {x^2} - 9 - 3{x^2} - 8x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 13x = 0\\ \Leftrightarrow x\left[ {x + 13} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left[ {tm} \right]\\x = - 13\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm là \[{x_1} = 0;{x_2} = - 13.\]