Đề bài
Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \[ABC\] thỏa mãn hệ thức \[\sin A = 2\sin B.\cos C\]thì \[ABC\] là tam giác cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.
\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\]
Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:
\[\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\]
Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin ta có:
\[\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\]
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
\[\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\]
Thay vào hệ thức \[\sin A = 2\sin B\cos C\] ta được:
\[\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right]}}{{2R.2ab}}\\ \Leftrightarrow a.2R.2ab = 2R.2b\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\]
Vậy tam giác ABC cân tại A.