Đề bài
a] Tính : \[\sqrt {16} .\sqrt 9 - \sqrt {144} :\sqrt {36} ;\sqrt {{5^2} - {3^2}} ;\] \[\sqrt {\sqrt {81} } .\]
b] Rút gọn các biểu thức sau:
\[\sqrt {16{x^2}} - x\] với \[x \ge 0\] ;
\[\sqrt {25{a^2}} - 3\] với \[a < 0\] ;
\[\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - x\] với \[x \in \mathbb{R}\].
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\begin{array}{l}\;\;\;\sqrt {16} .\sqrt 9 - \sqrt {144} :\sqrt {36} \\ = \sqrt {{4^2}} .\sqrt {{3^2}} - \sqrt {{{12}^2}} :\sqrt {{6^2}} \\ = \left| 4 \right|.\left| 3 \right| - \left| {12} \right|:\left| 6 \right|\\ = 4.3 - 12:6\\ = 12 - 2 = 10.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\;\;\;\sqrt {{5^2} - {3^2}} \\ = \sqrt {\left[ {5 - 3} \right]\left[ {5 + 3} \right]} \\ = \sqrt {2.8} = \sqrt {16} \\ = \sqrt {{4^2}} = \left| 4 \right| = 4.\end{array}\] \[\begin{array}{l}\;\;\;\sqrt {\sqrt {81} } \\ = \sqrt {\sqrt {{9^2}} } = \sqrt {\left| 9 \right|} \\ = \sqrt 9 = \sqrt {{3^2}} \\ = \sqrt {\left| 3 \right|} = 3.\end{array}\]
b] Rút gọn các biểu thức sau:
\[\begin{array}{l}\sqrt {16{x^2}} - x = \sqrt {{{\left[ {4x} \right]}^2}} - x\\ = \left| {4x} \right| - x = 3x - x = 2x\\\left[ {do\;\;x \ge 0 \Rightarrow \left| x \right| = x} \right].\\\sqrt {25{a^2}} - 3 = \sqrt {{{\left[ {5a} \right]}^2}} - 3 \\= \left| {5a} \right| - 3 = - 5a - 3\\\left[ {do\;a < 0 \Rightarrow \left| a \right| = - a} \right].\\\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - x = \sqrt {{{\left[ {x - 3} \right]}^2}} - x \\= \left| {x - 3} \right| - x\end{array}\]
Với \[x \ge 3 \Rightarrow \left| {x - 3} \right| = x - 3\] ta được: \[\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = x - 3 - x = - 3.\]
Với \[x < 3 \Rightarrow \left| {x - 3} \right| = - \left[ {x - 3} \right] = 3 - x\] ta được: \[\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 3 - x - x = 3 - 2x.\]
Vậy \[\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - x\]\[\; = \left\{ \begin{array}{l} - 3\;\;khi\;\;x \ge 3\\3 - 2x\;\;khi\;\;x < 3\end{array} \right.\]