Trong chương trình Toán 8 nói riêng và Toán học phổ thông nói chung, nội dung về phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải là một phần kiến thức cực kỳ quan trọng. Đây cũng không phải phần kiến thức khó “nhai” gì hết. Tuy nhiên, nếu không chăm chú nghe giảng thì vẫn sẽ bị thiếu hụt đi vài phần. Vậy nên Toppy đã củng cố lại cho các bạn học sinh kiến thức Toán 8 về phương trình bậc nhất 1 ẩn và cách giải ngay tại đây rồi đó.
Tổng quát nội dung bài học phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
Để hiểu và nắm vững được cách giải của một dạng phương trình toán học bất kỳ, trước hết học sinh cần phải nắm bắt được định nghĩa và nhận dạng xem phương trình đó thuộc loại nào mình đã học.
Sau khi nhận dạng đúng thì mới sử dụng cách giải đã học để làm theo từng bước. Trong quá trình giải không được quên các quy tắc cũng như lưu ý đã được học để tránh việc kết quả tính ra bị sai.
Đó là những nội dung trọng tâm về phương trình bậc nhất có 1 ẩn cũng như cách giải loại phương trình này mà nội dung Toán 8 mong muốn các bạn học sinh có thể nắm vững được. Còn ngoài ra, nếu bạn muốn mở rộng hơn kiến thức về phần này, có thể tham khảo thêm về phương trình tuyến tính.
Phương trình bậc nhất 1 ẩn giải thế nào?
Định nghĩa về phương trình bậc nhất 1 ẩn
Trong Toán học, phương trình bậc nhất một ẩn được hiểu là những phương trình có dạng ax+b=0. Trong đó, x là ẩn cần tìm còn a và b là 2 số hạng đã cho trước đó. Để phương trình này tồn tại dưới dạng đúng như định nghĩa thì cần phải kèm theo điều kiện là số hạng a phải khác 0.
Các quy tắc áp dụng khi biến đổi phương trình ax+b=0
Trước khi tiến hành giải phương trình ax+b=0 thì học sinh cần phải biết các quy tắc sẽ áp dụng khi làm dạng toán này. Thực tế, các bạn đã sử dụng các cách biến đổi này rất nhiều lần trước đây rồi. Tuy nhiên, hiện tại để tính toán thuận lợi hơn thì chúng ta sẽ đưa hết về quy tắc. Điều đó cũng giúp bạn đưa ra được cơ sở kiến thức khi áp dụng bất kỳ quy tắc tính toán, biến đổi nào.
Quy tắc chuyển vế – đổi dấu
Với một phương trình toán học bất kỳ, chuyển vế – đổi dấu chính là quy tắc đầu tiên và cũng là quy tắc quan trọng nhất mà bạn không bao giờ được quên. Vì cho dù sau này bạn học tới phương trình bậc cao cỡ nào, phức tạp ra sao thì cũng vẫn phải chuyển vế – đổi dấu như thường.
Nội dung quy tắc chuyển vế trong biến đổi phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải
Nguyên tắc chuyển vế – đổi dấu của phương trình rất đơn giản và dễ hiểu. Cụ thể, trong một phương trình sẽ có 2 vế là vế trái và vế phải. Trong quá trình biến đổi, bạn hoàn toàn có thể di chuyển qua lại các hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đó. Với điều kiện khi thực hiện chuyển vế, tuyệt đối không được quên đổi dấu. Dấu “+” sẽ đổi thành dấu “-” và ngược lại.
Quy tắc nhân [chia] phương trình với một số
Tương tự như chuyển vế – đổi dấu thì nhân [chia] phương trình với một số cũng là một quy tắc được sử dụng khá nhiều. Cụ thể, với quy tắc này, bạn có thể lựa chọn nhân hoặc chia cả 2 vế của phương trình với một số bất kỳ khác 0. Dĩ nhiên, không phải nhân tùy tiện để phương trình phức tạp lên mà là chọn số và nhân [chia] sao cho hợp lý.
Thông thường, chúng ta sẽ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình có cả số tự nhiên và phân số hoặc số thập phân. Vì chung quy lại thì tính toán với số tự nhiên vẫn là nhẹ nhàng nhất cho dù giá trị có to tới đâu.
Ví dụ minh họa cho quy tắc nhân 2 vế của phương trình
>> Xem thêm: Phương trình tích
Hướng dẫn trình tự các bước giải phương trình bậc nhất ax+b=0
Một cách tổng quát, phương trình ax+b=0 được giải theo trình tự 3 bước cơ bản như dưới đây.
Bước 1
Ở bước đầu tiên, bạn thực hiện thao tác chuyển vế. Nguyên tắc là chuyến hết các hạng tử tự do sang một vế và gom hết hạng tử chứa ẩn x sang một vế. Cụ thể, trong trường hợp tổng quát dạng ax+b=0, ta sẽ đưa “b” sang vế phải và giữ nguyên “ax” lại vế trái. Và ta được kết quả sau chuyển vế là ax= -b.
Bước 2
Tại bước này, bạn thực hiện phép chia cả 2 vế cho số đứng trước x. Cụ thể, ta chia cả 2 vế cho “a”. Lúc này, kết quả thu được là x=-ba
Bước 3
Đây là bước cuối cùng, bạn cần kết luận về số nghiệm của phương trình và đi kèm với giá trị của các nghiệm đó bằng cách ghi S = {-ba }. Với S được gọi là tập nghiệm của phương trình.
Một ví dụ đơn giản về giải phương trình ax+b=0
Trên đây là hướng dẫn về phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải đầy đủ, chi tiết nhất. Ngoài ra, nếu bạn có bất kỳ nhu cầu tham khảo kiến thức của môn học nào từ lớp 1 tới lớp 12, đừng ngần ngại mà hãy truy cập Toppy.vn để tìm được nội dung mình muốn học nhé.
Tìm hiểu thêm:
Đối với phương trình bậc nhất 1 ẩn cũng có khá nhiều dạng toán, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán này và vận dụng giải các bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn từ đơn giản đến nâng cao qua bài viết này.
Trường hợp 1: Nếu m$^2$ - 4 ≠ 0 m ≠ ± 2. Khi đó: [*] x = $\frac{{3m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \frac{3}{{m + 2}}$
Thí dụ 4. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m$^2$[x-1] = 4x-3m + 2 với x > 0.
Vậy, với m > 1 hoặc m < -2 phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện đề bài.
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 [a ≠ 0].
Áp dụng phương pháp giải bài toán
Giả sử điều kiện cho ẩn số [ nếu cần] là K, khi đó ta có ĐKXĐ là tập D.
Biến đổi phương trình về dạng: ax = -b [1]
Khi đó:
* Chú ý: Trong nhiều trường hợp các em học lên trình bày đòi hỏi của bài toán thông qua các bước giải biện luận.
3. Bài tập phương trình một ẩn
Những thí dụ từ căn bản tới nâng cao
Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m$^2$x + 6 = 4x + 3m.
Biến đổi phương trình về dạng: m$^2$x + 6 = 4x + 3m [m$^2$ - 4]x = 3m - 6[*]
Xét các trường hợp:
Trường hợp 2: Nếu m$^2$ - 4 = 0 m = ± 2. Khi đó: [*] $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\\ {0.x = - 12{\mkern 1mu} \left[ {vo\,ly} \right]} \end{array}} \right.$
Kết luận:
* Nhận xét: Trong thí dụ trên, ta thấy tồn tại đầy đủ các khả năng được minh hoạ trong bài toán tổng quát, tuy nhiên sẽ tồn tại những bài toán là một trường hợp đặc biệt:
Thí dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số a, b: $\frac{{x + a}}{{b - a}}$ + $\frac{{x - a}}{{b + a}}$ = $\frac{2}{{{a^2} - {b^2}}}$.
Điều kiện a ≠ ± b.
Viết lại phương trình dưới dạng: -[a + b][x + a] + [a - b][x - a] = 2 -bx = a$^2$ + 1.
Khi đó:
Thí dụ 3. Xác định tham số để phương trình sau có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$: m$^2$[mx-1] = 2m[2x + 1].
Ta biến đổi phương trình về dạng: [m3 - 4m]x = m$^2$ + 2m. [*]
Điều kiện để [*] có tập hợp nghiệm là $\mathbb{R}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 4m = 0\\2m + {m^2} = 0\end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 0 hoặc m = -2 phương trình có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
Ta biến đổi phương trình về dạng: [m$^2$ – 4]x = m$^2$ – 3m + 2 [m – 2][m + 2]x = [m – 2][m - 1].
Phương trình có nghiệm với x > 0 điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\frac{{m - 1}}{{m + 2}} > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$
$\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 2\end{array} \right.$.