Mỗi số đường à có bao nhiêu căn bậc 3?

Căn bậc ba

I . Lí thuyết :

    1 . Định nghĩa : căn bậc ba của một số a là một số x sao cho \[{{x}^{3}}=a\]. Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.

Nhận xét:

- Căn bậc ba của một số dương là một số dương;

- Căn bậc ba của một số âm là một số âm;

- Căn bậc ba của số 0 là số 0;

- Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \[\sqrt[3]{a}\].

      Vậy \[\sqrt[3]{a}=x\Leftrightarrow {{x}^{3}}=a\].

    2 . Tính chất :

- Liên hệ giữa thứ tự và căn bậc ba: nếu a < b thì \[\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\].

- Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương căn bậc ba :

Với A, B bất kì thì \[\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{AB}\]

- Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương căn bậc ba:

Với A, B bất kì , \[B\ne 0\] thì \[\sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}.\]

II . Bài tập ví dụ :

     Ví dụ 1: Tính :

\[a,\sqrt[3]{343};\]

\[b,\sqrt[3]{-1000};\]

\[c,\sqrt[3]{-0,512};\]

\[d,\sqrt[3]{1,331};\]

\[e,\sqrt[3]{-0,064};\]

\[f,\sqrt[3]{-0,729}.\]

                                                Giải

a, 7;            b, -10;             c,-0,8;            d,1,1;             e,-0,4;             f,-0,9.

     Ví dụ 2 :Chứng minh rằng nếu \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\] và \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\]

Thì \[\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\]

                                                   Giải

Đặt \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\]= t

Ta có : \[\sqrt[3]{a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}=\sqrt[3]{t\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)}=\sqrt[3]{t}\,(1)\]

Ta lại có : \[a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}\]= t \[\Rightarrow x\sqrt[3]{a}=y\sqrt[3]{b}=z\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{t}\]

\[\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{t}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)=\sqrt[3]{t}\,\,\,(2)\]

 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

       Ví dụ 3 : a, Đặt \[x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\]

Chứng minh rằng với mọi \[x>\frac{1}{8}\]thì x là số nguyên dương.

               b, Giải phương trình \[\sqrt[3]{x+24}+\sqrt{12-x}=6\].

                                                       Giải

a, Xét \[{{x}^{3}}=2a+3x.\sqrt[3]{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a+1}{3} \right)}^{2}}.\left( \frac{8a-1}{3} \right)}\]

\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+3x.\frac{\sqrt[3]{{{(1-2a)}^{3}}}}{3}\]

\[\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2a+x.(1-2a)\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x+2a)=0\Leftrightarrow x=1\]

Vì \[{{x}^{2}}+x+2a={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+2a-\frac{1}{4}={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8a-1}{4}>0\,\,\,\,\,\,\left( a>\frac{1}{8} \right)\]