Phân tích đa thức thành nhân tử ta được
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức cơ bản làm cơ sở cho các bài học về nhân chia đơn thức. Trong bài viết dưới đây Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn 6 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Show
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hướng dẫn phương pháp giải và các bài luyện tập chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng với tài liệu này sẽ giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu ôn tập giải toán lớp 8 để củng cố và nâng cao các kiến thức đã học. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây. Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức. Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chungPhương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó. A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1) Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử. a. 20x – 5y b) 4x2y – 8xy2+ 10x2y2 c. 5x(x – 1) – 3x(x – 1) d. 20x2y – 12x3 e. x(x + y) – 6x – 6y g. 8x4+ 12x2y4 – 16x3y4 h. 6x3– 9x2 i. 4xy2 + 8xyz Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a. 3x(x +1) – 5y(x + 1) b. 3x3(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)2 c. 3x(x – 6) – 2(x – 6) d. 3x(z + 2) + 5(-x – 2) đ. 4y(x – 1) – (1 – x) e. 18x2(3 + x) + 3(x + 3) g. (x – 3)3+ 3 – x h. 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 i. 7x(x – y) – (y – x) k. 10x(x – y) – 8y(y – x) Bài toán 3 : Tìm x biết. a. 4x(x + 1) = 8(x + 1) b. x(x – 1) – 2(1 – x) = 0 c. 2x(x – 2) – (2 – x)2= 0 d. (x – 3)3+ 3 – x = 0 e. 5x(x – 2) – (2 – x) = 0 g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 h) x2– 4x = 0 k) (1 – x)2 – 1 + x = 0 m) x + 6x2 = 0 n) (x + 1) = (x + 1)2 Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcPhương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung. Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 4x2- 1 b) 25x2- 0,09 c) 9x2 - d) (x - y)2- 4 e) 9 - (x - y)2 f) (x2 + 4)2 - 16x2 Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x4- y4 b) x2 - 3y2 c) (3x - 2y)2 - (2x - 3y)2 d) 9(x - y)2- 4(x + y)2 e) (4x2 - 4x + 1) - (x + 1)2 f) x3+ 27 g) 27x3- 0,001 h) 125x3 - 1 Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x4+ 2x2 + 1 b) 4x2 - 12xy + 9y2 c) -x2- 2xy - y2 d) (x + y)2 - 2(x + y) + 1 e) x3- 3x2+ 3x - 1 g) x3 + 6x2 + 12x + 8 h) x3+ 1 - x2 - x k) (x + y)3 - x3 - y3 Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử. a) x2- x - y2 - y b) x2 - 2xy + y2 - z2 c) 5x - 5y + ax - ay d) a3- a2x - ay + xy e) 4x2- y2+ 4x + 1 f) x3 - x + y3 - y Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2- y2 - 2x + 2y b) 2x + 2y - x2 - xy c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2 d) x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc f) x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3- 9y + 9x h) x2(x -1) + 16(1- x) Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tửPhương pháp: Vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức * Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử hoặc: Phương pháp 5: Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.Ví dụ : a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử: a) x4+ 16 b) x4y4 + 64 c) x4y4 + 4 d) 4x4y4+ 1 e) x4+ 1 f) x8 + x + 1 g) x8 + x7+ 1 h) x8+ 3x4 + 1 k) x4 + 4y4 Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử : a) a2- b2 - 2x(a - b) b) a2 - b2 - 2x(a + b) Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x4y4+ 4 b) 4x4 + 1 c) 64x4 + 1 d) x4 + 64 Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương phápBài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a) 16x4(x - y) - x + y b) 2x3y - 2xy3- 4xy2- 2xy c) x(y2- z2) + y(z2- x2) + z(x2 - y2) Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x - 4y + x2- 2xy + y2 b) x4 - 4x3 - 8x2 + 8x c) x3+ x2- 4x - 4 d) x4 - x2 + 2x - 1 e) x4+ x3+ x2 + 1 f) x3 - 4x2 + 4x - 1 Bài toán 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3+ x2y - xy2 - y3 b) x2y2 + 1 - x2 - y2 c) x2- y2- 4x + 4y d) x2 - y2 - 2x - 2y e) x2- y2- 2x - 2y f) x3 - y3 - 3x + 3y Bài toán 5 : Tìm x, biết. a)x3- x2 - x + 1 = 0 b) (2x3 - 3)2 - (4x2 - 9) = 0 c) x4+ 2x3- 6x - 9 = 0 d) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0 Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a. A = x2- x + 1 b. B = 4x2+ y2 - 4x - 2y + 3 c. C = x2+ x + 1 d) D = x2 + y2 - 4(x + y) + 16 e) E = x2 + 5x + 8 g) G = 2x2 + 8x + 9 Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a. A = -4x2- 12x b) B = 3 - 4x - x2 c) C = x2 + 2y2+ 2xy - 2y d) D = 2x - 2 - 3x2 e) E = 7 - x2- y2- 2(x + y) II. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tửBài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2) b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x) c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)8x3+ 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) b) x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - (a)2 = (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a) Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2-5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5+ x3+ x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) b)Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức được học từ lớp 8 nếu các bạn không nắm được các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử, tách hạng tử,.. sẽ không giải được các bài tập. Tuy nhiên, các bạn đừng quá lo lắng tất cả đã được chúng tôi trình bày chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo nhé
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử1. Phương pháp đặt nhân tử chungPhương pháp: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó. A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1) Ví dụ: a) x2 – x = x.x – x.1 = x(x – 1) b) 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y) = x.5x(x – 2y) – 3.5x(x – 2y) = (x – 3).5x(x – 2y) 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thứcPhương pháp: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ: a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3x2.1 + 3x.12 + 13 = (x + 1)3 b) (x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – (3x)2 = (x + y + 3x)(x + y – 3x) = (4x + y)(-2x + y) 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tửPhương pháp: Lưu ý: Ví dụ: a, x2 – 2xy + xy2 – 2y3.= ( x2 – 2xy ) + ( xy2 – 2y3 ) = x( x – 2y ) + y2( x – 2y ) = ( x + y2 )( x – 2y ) b, x2 + 4x – y2 + 4 = ( x2 + 4x + 4 ) – y2 = ( x + 2 )2 – y2 = ( x + 2 – y )( x + y + 2 ) 4. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tửPhương pháp: Để tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử ta vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức Ví dụ: 2x2 – 7xy + 5y2 = 2x2 – 2xy – 5xy + 5y2 = (2x2 – 2xy) – (5xy – 5y2) = 2x (x – y) – 5y(x – y) = (x – y)(2x – 5y) 5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tửPhương pháp: Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức Ví dụ: y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 – 16y2 = (y2 + 8)2 – (4y)2 = (y2 + 8 – 4y)(y2 + 8 + 4y) 6. Phối hợp nhiều phương phápPhương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết: Để phân tích đa thức thành nhân tử. Lưu ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng. Ví dụ: a. x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = ( x2 – 2xy + y2 ) + ( 4x – 4y ) = ( x – y )2 + 4( x – y ) = ( x – y )( x – y + 4 ). b. 2xy – x2 – y2 + 16 = 16 – ( x2 – 2xy + y2 ) = 16 – ( x – y )2 = ( 4 – x + y )( 4 + x – y ). 7. Phương pháp đặt biến phụTrong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tửBài 39 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Lời giải: a) 3x – 6y = 3.x – 3.2y = 3(x – 2y) (Xuất hiện nhân tử chung là 3) c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy(2x – 3y + 4xy) (Xuất hiện nhân tử chung 7xy) e) 10x(x – y) – 8y(y – x) (Nhận thấy x – y = –(y – x) nên ta đổi y – x về x – y) = 10x(x – y) – 8y[–(x – y)] = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y (Xuất hiện nhân tử chung 2(x – y)) = 2(x – y)(5x + 4y) Bài 40 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Tính giá trị của biểu thức: a) 15.91,5 + 150.0,85 b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999 Lời giải: a) 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.10.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b) x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[–(x – 1)] = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y) Tại x = 2001, y = 1999, giá trị biểu thức bằng: (2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Bài 41 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x, biết: a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 b) x3 – 13x = 0 Lời giải: a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0 ⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0 (Có x – 2000 là nhân tử chung) ⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0 ⇔ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0 + x – 2000 = 0 ⇔ x = 2000 + 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5. Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 2000 và x = 1/5. b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x.x2 – x.13 = 0 (Có nhân tử chung x) ⇔ x(x2 – 13) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x2 – 13 = 0 + x2 – 13 = 0 ⇔ x2 = 13 ⇔ x = √13 hoặc x = –√13 Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13. Bài 42 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên). Lời giải: Có : 55n + 1 – 55n = 55n.55 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n. Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54. Bài 43 (trang 20 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Lời giải: a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(25 – 10x + x2) = –(52 – 2.5.x + x2) = –(5 – x)2 Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Lời giải b) (a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2] = (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2) = 2b.(3a2+ b2) c) (a + b)3 + (a – b)3 = [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2] = [(a + b) + (a – b)] . [(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)] = (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2) = 2a.(a2 + 3b2) Hy vọng với các phương pháp mà chúng tôi vừa chia sẻ phía trên có thể giúp các bạn biết cách phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài tập đơn giản và chính xác nhé
Đánh giá bài viết XEM THÊM
Nhiệt lượng là gì? Công thức tính nhiệt lượng chính xác 100% Đối xứng trục là gì? Các dạng bài tập thường gặp chi tiết từ A- Z |