I. Cách Giải Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2 : Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
Bước 3 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 4 : Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 5 [ kết luận] : Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, so sánh với điều kiện, các giá trị thoả mãn chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý: Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
Giải:
Tìm điều kiện xác định của phương trình :
Phương trình xác định khi à
à
Thực hiện quy đồng và khử mẫu :
Giải phương trình vừa nhận được :
Kết luận :
Ta thấy x=1 thoả mãn điều kiện xác định, nên nó là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={1}
II. Các Dạng Bài Tập Và Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu
Dạng 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình:
Phương pháp : Đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác không [ viết tắt là ĐKXĐ]
Sách giải toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Luyện tập [trang 22-23] giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 5 trang 19: Giá trị x = 1 có phải là nghiệm của phương trình hay không ? Vì sao ?
Lời giải
Giá trị x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.
Vì tại x = 1 thì
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 5 trang 20: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
Lời giải
a] Phương trình
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ ±1.
b] x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 2.
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 2 Bài 5 trang 22: Giải các phương trình trong câu hỏi 2
Lời giải
Suy ra x[x + 1] = [x – 1][x + 4]
Ta có:
x[x + 1] = [x – 1][x + 4]
⇔ x2 + x = x2 + 4x – x – 4
⇔ x = 3x – 4
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2 [thỏa mãn ĐKXĐ]
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {2}
Suy ra 3 = 2x – 1 – x[x – 2]
⇔ 3 = 2x – 1-[x2 – 2x]
⇔ 3 = 2x – 1 – x2 + 2x
⇔ 3 = – 1 – x2
⇔ x2 = -4[vô nghiệm]
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = ∅
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 27 [trang 22 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các phương trình:
Lời giải:
a] Điều kiện xác định: x ≠ -5.
2x – 5 = 3[x + 5]
⇔ 2x – 5 = 3x + 15
⇔ -5 – 15 = 3x – 2x
⇔ x = -20 [thỏa mãn điều kiện xác định].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.
b] Điều kiện xác định: x ≠ 0.
2[x2 – 6] = 2x2 + 3x
⇔ 2x2 – 12 – 2x2 – 3x = 0
⇔ 3x = 12
⇔ x = 4 [Thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}.
c] Điều kiện xác định: x ≠ 3.
⇔ x2 + 2x – [3x + 6] = 0
⇔ x[x + 2] – 3[x + 2] = 0
⇔ [x – 3][x + 2] = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 2 = 0
+ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 [Không thỏa mãn đkxđ]
+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 [Thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.
d] Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.
⇔ 5 = [2x – 1][3x + 2]
⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5
⇔ 6x2 – 3x + 4x – 2 = 5
⇔ 6x2 + x – 7 = 0.
⇔ 6x2 – 6x + 7x – 7 = 0
[Tách để phân tích vế trái thành nhân tử]
⇔ 6x[x – 1] + 7[x – 1] = 0
⇔ [6x + 7][x – 1] = 0
⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x – 1 = 0
+ 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = – 7 ⇔ x = -7/6 [thỏa mãn đkxđ]
+ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 [thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bài 28 [trang 22 SGK Toán 8 tập 2]: Giải các phương trình:
Lời giải:
a] Điều kiện xác định: x ≠ 1.
⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1
⇔ 3x – 2 = 1
⇔ 3x = 3
⇔ x = 1 [không thỏa mãn điều kiện xác định].
Vậy phương trình vô nghiệm.
b] Điều kiện xác định: x ≠ -1.
⇔ 5x + 2x + 2 = -12
⇔ 7x + 2 = -12
⇔ 7x = -14
⇔ x = -2 [thỏa mãn đkxđ]
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}
c] Điều kiện xác định: x ≠ 0.
⇔ x3 + x = x4 + 1
⇔ x4 + 1 – x – x3 = 0
⇔ [x4 – x3] + [1 – x] = 0
⇔ x3[x – 1] – [x – 1] = 0
⇔ [x3 – 1][x – 1] = 0
⇔ [x – 1][x2 + x + 1][x – 1] = 0
⇔ x – 1 = 0 [vì x2 + x + 1 = [x + ½]2 + ¾ > 0 với mọi x].
⇔ x = 1 [thỏa mãn đkxđ].
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.
d] Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.
⇔ x[x + 3] + [x + 1][x – 2] = 2.x[x + 1]
⇔ x[x + 3] + [x + 1][x – 2] – 2x[x + 1] = 0
⇔ x2 + 3x + x2 + x – 2x – 2 – [2x2 + 2x] = 0
⇔ x2 + x2 – 2x2 + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0
⇔ 0x – 2 = 0
Phương trình vô nghiệm.
Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Luyện tập [trang 22-23 sgk Toán 8 Tập 2]
Bài 29 [trang 22-23 SGK Toán 8 tập 2]: Bạn Sơn giải phương trình
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau: