- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
1. Phương pháp giải
Quảng cáo
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[xo; yo; zo] và có vecto pháp tuyến n→[A;B;C] ≠ 0→ :
A.[x- xo] + B[ y- yo]+C[ z- zo] =0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm A[0; 1; -1] và có vecto pháp tuyến n→[2;3;4]
A. y – z + 1 = 0 B. 2x + y - z- 3= 0
C. 2x + 3y + 4z +1= 0 D. 2x- 3y - 4z - 1 = 0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng [P] đi qua điểm A [0;1; -1] và có vecto pháp tuyến n→[2;3;4] có phương trình là:
2[ x- 0] + 3[ y – 1] + 4[ z + 1] = 0
Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A[ 1;2; 7] và B[3; 0; -3], gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n→[2;-3;1]
A. 2x - 3y+ z + 2 = 0 B. 2x - 3y + z + 3=0
C. 2x - 3y+ z = 0 D. 2x – 3y + z - 3= 0
Quảng cáo
Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
=> M[2; 1; 2]
+ Mặt phẳng đi qua điểm M[ 2; 1; 2] và có vecto pháp tuyến có phương trình là:
2[ x – 2] -3[ y- 1]+ 1[ z – 2 ] = 0
Hay 2x -3y + z - 3= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A[ 2; 1; 3] và B[ - 2; 3; -1] và C[ 0; 2; 1], gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n→[2;1;1]
A. 2x+ y+ z- 3= 0 B. 2x+ y- z+ 3=0
C. 2x+ z- 3= 0 D. 2x+ y- z- 6= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
=> G[ 0; 2; 1]
+ Mặt phẳng đi qua điểm G[0; 2; 1] và có vecto pháp tuyến n→[2;1;1] có phương trình là:
2[ x- 0] + 1[ y - 2] + 1.[ z - 1] = 0
Hay 2x+ y+ z – 3= 0
Chọn A.
Quảng cáo
1. Phương pháp giải
Cách 1:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: n→[A;B;C]
Do mặt phẳng [α] // [P] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là n→[A;B;C]
Phương trình mặt phẳng [α]:
A[x- xo] + B. [y – yo] + C[ z- zo] = 0
Cách 2:
Mặt phẳng [α ] // [P] nên phương trình mặt phẳng [α] có dạng:
Ax+ By + Cz + D’= 0 [*] với D' ≠ D
Vì mặt phẳng [α] đi qua điểm M [xo; yo; zo] nên thay tọa độ điểm M vào [*] tìm đươc D’
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; 0] và song song với mặt phẳng [Q]: x + 2y – 3z + 10 = 0.
A. x + 2y – 3z - 3= 0 B. x - 2y+ 3z + 5 = 0
C. x+ 2y - 3z +3 = 0 D. – x+ 2y + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→[1;2-3] .
Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [ -1; 2; 0] và có vecto pháp tuyến n→[1;2-3] nên có phương trình:
1[ x+1] + 2[y- 2] – 3[ z- 0] = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A[0; -2;1] và B[ 2; 0; 3]. Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z - 10 =0
A. 2x+ 5y + z+ 2= 0 B. 2x+ 5y + z+ 3= 0
C. 2x+ 5y + z - 4= 0 D. 2x+ 5y + z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
=> M[ 1; -1; 2]
Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→[2;5;1]
Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→[2;5;1] và đi qua điểm M [1; -1; 2] là:
2[ x- 1] + 5[ y+ 1] + 1[z- 2] = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A [5; 1; 3], B[1; 2; 6], C[5; 0; 4], D[ -1; 2; -3]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng [ABC]
A. x+ y – z - 4= 0 B. x+ y +z+ 2= 0 C.x - y+ z+ 6= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] ta có
Chọn n→[1;1;1] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC]
Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [ABC] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→[1;1;1]
Phương trình mặt phẳng [P] đi qua D [-1; 2; -3] và có vecto pháp tuyến n→[1;1;1] là:
1[ x+ 1] + 1[ y – 2] + 1[ z+ 3] = 0 hay x+ y + z + 2= 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A [-2;1;3], B[1; 2; 4], C[2; -1;3], D[0; 0; -1]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng [ABC]
A. x+ 2y+ z- 2= 0 B. x- 2y- 5z- 5= 0 C. x+ 2y- 5z- 9= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng [ABC] ta có nên n→ cùng phương với
Chọn n→[1;2;-5] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC]
Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [ABC] nên mặt phẳng [P] có VTPT n→ [1; 2; -5].
Phương trình mặt phẳng [P] đi qua D [0; 0; -1] và có vecto pháp tuyến n→ là:
1. [x – 0]+ 2[ y – 0] - 5[ z+ 1] =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0
Chọn D.
1. Phương pháp giải
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
1. Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→
2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [AB→, AC→]
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A [hoặc B, hoặc C]
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ = [AB→, AC→]
Chú ý: Phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A[a;0;0]; B[0;b;0]; C[0;0;c] có dạng là:
x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.
Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó [P] được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương
1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P]: n→ = [u→, v→]
2. Mặt phẳng [ P] đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT
=> Phương trình mặt phẳng [P].
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A[1; -2; 0], B[1; 1; 1] và C[0; 1; -2]
A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0 B. 9x+ y- 3z – 7= 0
C. 9x- y- 3z- 11=0 D. 9x- y+ 3z- 10= 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→[0;3;1]; AC→ => [AB→, AC→]= [ - 9; -1; 3]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] ta có
Chọn n→[ 9;1; -3] ta được phương trình mặt phẳng [ABC] là
9.[ x – 1]+1.[y + 2] - 3[ z - 0] = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] đi qua điểm M[5; 4; 3] và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng [P].
A. x+ y+ z - 12 = 0 B. x- y- z + 2= 0
C. x- y+ z – 4= 0 D. x+ y- z – 6= 0
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng [P] cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên
A [a; 0; 0]; B[0; a; 0]; C[0; 0; a] ; [ a > 0]
Phương trình mặt phẳng [P] theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1
Do mặt phẳng [P] đi qua điểm M [5; 4; 3] nên ta có:
5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12
Khi đó, phương trình mặt phẳng [P] là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A[5; 1; 3], B[1; 6;2], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
A. x+ 4y+ z- 27= 0 B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0
C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→[-4;5-1]; CD→[-1;0;-2] => [AB→, CD→] = [10; 9; 5]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]
Do A, B thuộc mặt phẳng [P], mặt phẳng [P] song song với đường thẳng CD nên ta có:
Chọn n→ = [10;9;5]
Vậy phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ và đi qua điểm A[5; 1; 3] là:
10 [x – 5] + 9 [ y- 1] + 5 [ z – 3] = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M[ 2; -1; 2]và nhận hai vecto u→[1;2;3] và v→[-2;1;0] làm vecto chỉ phương?
A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0 B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0
C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0 D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
Ta có hai vecto u→[1;2;3] và v→[-2;1;0] là vecto chỉ phương của mặt phẳng [P] nên một vecto pháp tuyến của mp [P] là: n→ = [u→,v→] = [- 3; - 6; 5]
Mặt phẳng [P] nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M[ 2; -1; 2 ] nên phương trình mặt phẳng [ P] là:
-3[ x- 2] – 6 [ y+ 1] + 5[ z-2]= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[ 2; -3; 4]; B[2; 1; -3] và mặt phẳng [P] nhận vecto u→[ 2; 0; 1] làm vecto chỉ phương ?
A. 2x- 7y- 4z- 9= 0 B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0
C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0 D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AB→[0; 4; -7]
+ Lại có mặt phẳng [ P] nhận vecto u→[ 2; 0; 1] làm vecto chỉ phương nên một vecto pháp tuyến của mp[ P] là: n→ = [u→;AB→] = [-4; 14; 8]= -2[ 2; -7; -4]
=> Phương trình mặt phẳng [ P] đi qua A[2; -3; 4] và nhận n→ làm VTPT là:
2[ x-2] – 7[ y+ 3] – 4[ z- 4] =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0
Chọn A.
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M [xo; yo; zo] và có vecto pháp tuyến n→[A:B:C] là:
A[x – xo] + B[ y – yo] + C[z- zo ] = 0
+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :
• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I [ áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng].
• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A[ 2; 1; 0] và B[-4 ; -3; 2] . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?
A. 3x + 2y - z+ 6= 0 B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0
C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0 D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
+ Gọi [P] là mặt phẳng trung trực của AB.
=> Mặt phẳng [ P] nhận AB→ [- 6; -4; 2] làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ [ 3; 2; -1]
+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:
=> I[ -1; - 1; 1]
+ Mặt phẳng [ P] qua I [- 1; -1; 1] và vecto pháp tuyến có phương trình là:
3[ x+ 1]+ 2[ y+ 1] – 1[ z – 1] = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A[ 0; 2; -3] và B[ 4; -4; 1]. Gọi M là trung điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
A. 2x + y +z+ 3= 0 B. 2x + y - z+ 3= 0
C. 2x – y – z - 3 = 0 D. 2x – y + z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:
=> M[ 2; -1; -1]
+ Gọi [P] là mặt phẳng trung trực của OM.
=> Mặt phẳng [ P] nhận OM→[2;-1;-1] làm vecto pháp tuyến
+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:
+ Mặt phẳng [ P] qua I và vecto pháp tuyến OM→[2;-1;-1] có phương trình là:
2.[x-1] - 1.[y+1/2] - 1.[z+1/2] = 0 hay 2x – y – z – 3= 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A[ 1; 2; 0] và I[ -2; 1; 1]
A. x + y- z+ 1= 0 B. 3x+ y- z+ 6= 0
C. 3x- y+ z- 1= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
+ Gọi [P] là mặt phẳng trung trực của AB .
=> Mặt phẳng [ P] đi qua I và vuông góc AI
=> Mặt phẳng [ P] đi qua I [ -2; 1; 1] và nhận vecto IA→ [ 3; 1; -1] làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng [P]:
3[ x+ 2] + 1[ y-1] – 1[z- 1] = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0
Chọn B.
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[a; 0; 0] ; B[ 0; b; 0] , C[0;0; c] với abc ≠ 0 có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1
+ Phương trình mặt phẳng có dạng: x/a + y/b + z/c = 1 cắt ba trục Ox; Oy;Oz lần lượt tại các điểm A[a; 0; 0]; B[0; b; 0] và C[ 0; 0; c] .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: 2x - y+ 2z - 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] theo đoạn chắn?
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng [ P] cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A[ 2; 0; 0]; B[ 0; -4; 0] và C[0; 0; 2]
=> Phương trình mặt phẳng [ P] theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi [P] là mặt phẳng qua G[1; -2; -1] và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C [khác gốc O] sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng [P] có phương trình:
A. 2x - y+ 2z + 3 = 0 B. 2x – y - 2z – 6 =0
C. 2x + y - 2z + 9 = 0 D. 2x+ y + 3z - 9 =0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A[ a; 0; 0]; B[0; b; 0] và C[0; 0; c] với , khi đó mặt phẳng [P] phương trình có dạng:
Mà điểm G[ 1; 2; 3] là trọng tâm tam giác ABC nên
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] đi qua điểm H[2; 1;1] và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C [khác gốc toạ độ O] sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng [P] có phương trình là:
A. 2x+ y + z - 6= 0 B. 2x + y + z+ 6 = 0
C. 2x – y + z +6 = 0 D. 2x+ y - z + 6 = 0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A[a; 0; 0]; B[0; b; 0] và C[0; 0; c] với , khi đó mặt phẳng [ P] phương trình có dạng:
Ta có:
Điểm H[2; 1; 1] là trực tâm tam giác ABC nên
Thay a; b; c vào [1], ta được: [P]: x/3 + y/6 + z/6 = 1
hay [P]: 2x+ y + z - 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] đi qua điểm M[1; 1; 1] và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C [khác gốc toạ độ O] sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng [P] có phương trình là:
A. x – y - z- 3 = 0 B. x+ y+ z+ 3= 0
C. x+ y+ z - 3 = 0 D. x+ y – z+ 3 = 0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A[a; 0; 0]; B[0; b; 0] và C[ 0; 0; c] với a; b;c > 0 . Khi đó phương trình mặt phẳng [P] có dạng:
Điểm M[1;1;1] thuộc [P] nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :
Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .
=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3
⇔ a = b = c = 3
[P]: x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0
Chọn C
1. Phương pháp giải
+ Đường thẳng d:
Đường thẳng :
+ Để viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:
Tìm vecto chỉ phương của d là ud→
Vì d ⊥ [α] nên [α] có vecto pháp tuyến là nα→= ud→
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d:
A. 2x – z = 0 B. –y+ 2z= 0 C. x- y+ 2z= 0 D. x + z = 0
Hướng dẫn giải:
+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→[2;0;-1]
+Mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng [d] nên [P] có một vecto pháp tuyến là:
nP→ →= ud→[2; 0; -1]
+ Khi đó phương trình mặt phẳng [P] đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:
2[x – 0] + 0 [y -0] – 1. [z – 0] = 0 hay 2x – z = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A [-2; 3; -3], B[2; 1; -1] và C[0; 2; 0]. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
A. 2x+ y – z - 3= 0 B. x+ 2y - 2z + 2 = 0
C. -2x + y + z - 4 = 0 D. x + y + z + 2 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = [-2; 1;1].
Do mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là n→ = BC→ = [-2; 1; 1]
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-2[ x+ 2] + 1. [ y – 3] + 1[ z+ 3] = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A [1; 2; 3] và B[ 3; 0; -1]. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng [ P] đi qua I và vuông góc với đường thẳng [d]:
A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0 B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0
C. 2x+ y+ 3z - 8=0 D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0
Hướng dẫn giải:
+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
=> I [2; 1; 1]
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ [2; 1; 3]
+ Do mặt phẳng [ P ] vuông góc với đường thẳng [d] nên mp [P] có VTPT là n→[2;1;3]
=> Phương trình mặt phẳng [ P] : 2[ x-2] + 1[ y- 1] + 3[ z - 1] =0
Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A [1;0; -1]; B[2; 1; -1] Và C[ 3; 2; -1]. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng [ P] đi qua G và vuông góc với đường thẳng [d] :
A. 2x - 3y+ z- 10= 0 B. 3x- 4y+ z - 1= 0
C. 3x+ 4y - z + 3= 0 D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
=> G[ 2; 1; -1]
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→[3;-4;1]
.+ Do mặt phẳng [ P ] vuông góc với đường thẳng [d] nên mp [P] có vecto pháp tuyến là : n→[3;-4;1]
=> Phương trình mặt phẳng [ P]: 3[ x- 2] – 4[ y - 1] + 1[ z + 1] = 0
Hay 3x – 4y + z- 1= 0
Chọn B.
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto pháp tuyến của [β] là nβ→
• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→
• Lấy một điểm M trên Δ
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
A. x+ z = 0 B. x+ y +1= 0 C. y - z + 1= 0 D. x – y + 2z= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A [ -1; 2; 1] và có vecto chỉ phương u→ [-1;2;1]
Mặt phẳng [Q] có vecto pháp tuyến nQ→ = [1;2;-1]
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và vuông góc với [Q] nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ =[u→ ,nQ→ ]= [ - 4; 0; -4] = - 4[1; 0; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[ -1; 2; 1] và có VTPT n'→ [1; 0; 1] là:
1[ x + 1] + 0[ y - 2] + 1[ z - 1] = 0 hay x+ z = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0 B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0
C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0 D.5x - 8y- 6z – 5 = 0
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ [2;2; -1] và đi qua điểm A[ -1; 1; -3].
+ Mặt phẳng [α] có vecto pháp tuyến là: nα→ [ 2; -1; 3]
+ Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng [α] nên [P] có một vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = [5; -8; -6] và đi qua A[0; -1; 2]
Phương trình mặt phẳng [P] cần tìm là:
5[ x+ 1] – 8[ y - 1] – 6[ z + 3] = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[3; 1; 1], B[ 2; -1; 2] và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α có phương trình là
A. x – 3y – 5z + 5 = 0 B. 3x - 4y – 5z = 0.
C. 3x - 4y – 5z – 2= 0 D. 3x+ 4y – 5z = 0
Hướng dẫn giải:
Ta có đường thẳng AB nhận AB→ [-1 ; -2 ; 1] làm vecto chỉ phương
Mặt phẳng [α] có vecto pháp tuyến nα→ [2 ; -1 ; 2]
+ Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng [α] nên [P] có một VTPT là n→ = [AB→ , nα→ ] = [-3; 4; 5] và đi qua A[3; 1; 1]
+ Phương trình mặt phẳng [P] cần tìm là:
-3[ x- 3] + 4[ y-1] + 5[ z- 1] = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0
Vậy phương trình mp [P]: - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0
Chọn B.
1. Phương pháp giải
Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1→ ; u2→
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là nα→ = [u1→, u2→]
Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa đường thẳng
A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0 B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0
C. 6x+ y- 2z+ 1= 0 D. 6x- y- 2z+ 4= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M [1; 1; 1] và có vecto chỉ phương u1→[0;-2;1]
Đường thẳng d2 đi qua điểm N [1; 0;1] có vecto chỉ phương u2→[1;2;2]
Ta có: [u1→,u2→] = [ - 6; 1; 2]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có:
Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1; 1; 1] và nhận VTPT n→ [-6; 1; 2] có phương trình là:
- 6[x -1] + 1[ y- 1] + 2[ z - 1]= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [P] thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng [P] là – 6x + y + 2z + 3= 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
A. x+ 4y + 2z + 2 = 0 B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0
C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0 D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M [0; 1; -2] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 1; -2]
Đường thẳng d_2 đi qua điểm N [0; 0; 2] có vecto chỉ phương u2→ [2; 2; -1]
Ta có: [u1→, u2→] = [3; -2; 2]
Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có
Mặt phẳng [α] đi qua điểm M [0; 1; -2] và nhận VTPT n→ [ 3; -2; 2] có phương trình là:
3[ x- 0] – 2[ y – 1] + 2[ z+ 2] = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [ thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng [P] là 3x - 2y + 2z + 6 = 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
A. x+ 3y - 2z - 24= 0 B. x+ 3y+ 2z - 24=0
C. x - 3y+ 2z + 12= 0 D. x - 3y - 2z - 1= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M [1; 5; 4] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 0; -1]
Đường thẳng d’ đi qua điểm N [3; 6;0] có vecto chỉ phương u2→ [1; 1; -1]
Ta có: [u1→, u2→] = [1; 3; 2]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] ta có nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]. Chọn n→[1;3;2] .
Mặt phẳng [P] đi qua điểm M [1; 5; 4] và nhận vecto pháp tuyến n→[1;3;2] có phương trình là:
1[ x -1] + 3[ y -5] + 2[ z- 4] = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng [P] thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng [P] là x+ 3y + 2z – 24= 0.
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A[5; 1; 3], B[1; 6;2], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
A. 10x+ 9y + 5z - 74= 0 B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0
C. 10x - 9y + 5z + 56= 0 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→ [- 4; 5; -1]; CD→[ -1; 0; 2] =>[AB→, CD→] = [ 10; 9; 5]
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]
Do A, B thuộc mặt phẳng [P], mặt phẳng [P] song song với đường thẳng CD nên ta có nên n→ cùng phương với [AB→, CD→] . Chọn n→ [10; 9; 5]
Vậy phương trình mặt phẳng [P] có VTPT n→ [10; 9; 5] và đi qua điểm A[5; 1; 3] là:
10. [x – 5] + 9[ y- 1]+ 5[ z- 3] =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0
Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0
Chọn A.
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u→, MN→]
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A [4; -3; 1] và đường thẳng d:
A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0 B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0
C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0 D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm N[-1; 1; -1] và có vecto chỉ phương u→[2;1; 2]; AN→[ - 5; 4; -2]
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→; AN→] = [ - 10; -6; 13] = - [10; 6; -13]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
10[x – 4] + 6 [ y+ 3] – 13[ z- 1] = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng [P] qua điểm A[0; 0; 2] và chứa trục hoành có phương trình là:
A. y= 0 B. y= 2 C. z= 2 D. x= 0
Hướng dẫn giải:
Trục hoành đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] và có vecto chỉ phương u→[1; 0; 0] ; OA→[0; 0; 2]
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→; OA→] = [0; -2; 0] = -2 [0; 1;0]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 0[ x- 0] + 1[ y-0] + 0[z - 2] = 0 hay y = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng [P] đi qua A[ 1; 2; 3] và chứa đường thẳng d:
A. - 1 B. 3 C. 2 D. 5
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua điểm N[1; -1; -1] và có vecto chỉ phương u→[2; 1; 3]; AN→[0; -3; -4]
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→;AN→] = [ 5; 8; -6]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 5[ x- 1]+ 8[ y-2] – 6[ z- 3] = 0 hay 5x+ 8y- 6z – 3= 0
=> a+ b+ c = 8+ [-6] + [-3] = - 1
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P] đi qua điểm A[1; 2; 1]; B[ 1; -2; 0] và C[2; 1; 2]. Phương trình mặt phẳng [ P] có dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
A. 10 B. – 8 C. 6 D.12
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AB→ [0; -4; -1]; BC→ [ 1; 3; 2]
+ Mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A; B và C nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [AB→, BC→] = [- 5; -1; 4] = - [ 5; 1; -4]
=> Phương trình mặt phẳng [P] là:
5[x- 1] +1[ y- 2] – 4[ z- 1] = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0
=> a= 1; b= -4 và c= -3 nên a.b.c= 1.[-4].[-3] = 12
Chọn D.
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u1→; u2→]
• Lấy 1 điểm M trên d
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng
có phương trình làA. [P]: x+ y- z+ 2= 0 B. [P] : x- y- z+ 2= 0
C. [P] : x- z+ 2= 0 D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M[-2; -1; 1] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 1; 1]
Đường thẳng d2 đi qua điểm N[-1; 0; 1] và có vecto chỉ phương u2→ [1; -1; 2]
Ta có: [u1→,u2→] = [ 3; -3; -3]; MN1→ [1; 1;0]
Do MN→ . [u1→,u2→] = 3. 1+ [- 3].1+ [- 3]. 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u1→,u2→] = [3; -3; -3] = 3[ 1; -1; -1]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
1[ x+ 2] – 1[ y+ 1] - 1[ z- 1] = 0 hay x- y - z + 2= 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng
A. 10 B. -11 C. 11 D. 8
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M[1; -1; 12] và có vecto chỉ phương u1→ [1; -1; -3]
Đường thẳng d’ đi qua điểm N[1; 2; 3] và có vecto chỉ phương u2→ [-1; 2; 0]
Ta có: [u1→, u1→]= [ 6; 3; 1]; MN→ [ 0; 3; -9]
Do MN→. [u1→, u1→] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u1→, u2→] = [6; 3; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
6[ x- 1]+ 3[ y – 2] + 1[ z- 3] =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0
=> a= 3; b= 1; c= -15 nên a+ b+ c= 3+ 1+ [-15] = -11.
Chọn B
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M[0; -2; 3] và có vecto chỉ phương u1→ [2; 1; 3]
Đường thẳng d2 đi qua điểm N[2; -3; 3] và có vecto chỉ phương u2→ [2; -1; 0]
Ta có: [u1→, u2→] =[ 3; 6; -4]; MN→ [ 2; -1; 0]
Do MN→.[u1→, u2→] = 3.2+ 6.[-1] + [-4]. 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u1→, u1→] = [ 3; 6; -4]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
3[ x-0] + 6[ y+2] – 4[ z-3] = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0
Khoảng cách từ điểm I[ 2; 1; 3] đến mặt phẳng [P] là:
Chọn D.
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là n→ = [u1→; MN→]
• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng
A. 6x+ 3y+ z-10= 0 B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0
C. 6x- 3y+ z- 14= 0 D . Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M [1; -1;12] và có vecto chỉ phương u1→[1; -1; -3]
Đường thẳng d’ đi qua điểm N [1; 2;3] và có vecto chỉ phương u2→[1; -1; -3]
Ta có: [u1→,u2→] = [0; 0; 0]; MN→[0;3; -9]
Do [u1→,u1→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d và d’ song song nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u1→,MN→] = [18, 9, 3] = 3[ 6; 3; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến [6; 3; 1] và đi qua điểm N [1; 2; 3] là:
6[ x – 1]+ 3[y -2] +1[z – 3] = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Oz và đường thẳng
A. x+ 3x= 0 B. y+ 3z= 0 C. x+ 3y= 0 D. z= 0
Hướng dẫn giải:
Trục Oz đi qua điểm O [0; 0; 0] và có vecto chỉ phương u1→[0; 0; 1].
Đường thẳng d đi qua điểm N [3; -1;5] và có vecto chỉ phương u2→[ 0; 0; 2]
Ta có: [u1→, u1→] = [0; 0; 0]; ON→ = [3; -1; 5]
Do [u1→, u2→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng Oz và d song song.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng Oz và d song song nên [P] có một vecto pháp tuyến là
n→ = [u1→, ON→] = [1; 3; 0]
Phương trình mặt phẳng [P] có VTPT n→ [1; 3; 0] và đi qua điểm O [0; 0; 0] là: x+ 3y = 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[ -1; 2; 1]; B[ 0; 4; - 2] và chứa đường thẳng d:
A. 7x + y + 3z+ 2= 0 B. 7x - 6y+ z- 10= 0
C. 7x - y + 3z- 16= 0 D. 7x - y + z + 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ 0; 1; -1] và có vecto chỉ phương u→[ 1; 2; -3].
Vecto AB→ [1; 2; -3]; AM→[1; -1; -2]
+ Ta có: [AB→; u→] = [0; 0; 0]
Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.
Mặt phẳng [P] chứa A[-1; 2; 1], nhận vecto n→ = [AM→; u→] = [ - 7; -1; -3] = -[ 7; 1;3] làm VTPT
=> Phương trình mặt phẳng [P] :
7[ x+ 1] + 1[ y-2] + 3[ z- 1]= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. 8 B. - 5 C. 12 D. -3
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M[ 0;1;2] và có vecto chỉ phương u1→[2; -3; 1]
Đường thẳng d2 đi qua điểm N[ 1;2; 0] và có vecto chỉ phương u2→[2; -3; 1]
Ta có: [u1→; u2→] =[0; 0; 0]; MN→ [1; 1; -2]
Do [u1→; u2→] = [0; 0; 0] nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Mặt phẳng [P] chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên [P] có VTPT là
n→ = [u1→; u2→] = [5; 5;5] chọn [ 1; 1; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là:
1[ x- 0] + 1[ y- 1] + 1[ z-2] = 0 hay x + y + z - 3= 0
=> a= 1; b= 1 và c= - 3 nên a.b.c= -3
Chọn D.
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp