Tiính trung bình trung vị mốt bằng s tât năm 2024

1. Số trung bình

- Giả sử ta có một mẫu số liệu là x1, x2, …, xn.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

x¯=x1+x2+...+xnn

- Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Giá trị

x1

x2

…

xk

Tần số

n1

n2

…

nk

Khi đó, công thức trung bình trở thành:

x¯=n1x1+n2x2+...+nkxnn

Trong đó n = n1 + n2 + … + nk. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu fk=nkn là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của xk trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn x¯ \= f1x1 + f2x2 + … + fkxk.

2. Trung vị và tứ phân vị

- Trung vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là Me, là giá trị ở chính giữa dãy x1, x2, …, xn.

Cụ thể:

+ Nếu n = 2k + 1, k ∈ ℕ, thì trung vị của mẫu Me = xk+1.

+ Nếu n = 2k, thì trung vị của mẫu Me = (xk + xk+1).

- Tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q1, Q2, Q3). Ba giá trị này chia tập hợp đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau.

Cụ thể:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q2, chính là số trung vị của mẫu.

+ Giá trị phân vị thứ nhất, Q1, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q3, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).

3. Mốt

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M0.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ví dụ 1: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A được thống kê trong bảng dưới đây:

Số điểm

7

8

9

10

Số học sinh

12

15

8

5

1. Tính số điểm trung bình của các học sinh trên.

2. Tìm mốt trong bảng thống kê trên.

Hướng dẫn giải:

1. Điểm trung bình của các học sinh lớp 10A là:

x¯=7.12+8.15+9.8+10.515+15+8+5=8,15.

2. Ta thấy số học sinh đạt điểm 8 lớn hơn số học sinh đạt điểm 7, 9, 10. Do đó mốt của mẫu số liệu trên là 8.

Vậy M0 = 8.

Ví dụ 2: Cho các mẫu số liệu sau:

1. 8; 6; 1; 6; 10; 3; 8; 2; 11; 15; 12.

2. 2; 9; 7; 12; 10; 6; 8; 15.

Tính trung vị và tứ phân vị của các mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

1. Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 3; 6; 6; 8; 8; 10; 11; 12; 15.

Vì cỡ mẫu là n = 11 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 6. Tức là Me = 8.

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 8.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 3; 6; 6.

Do đó Q1 = 3.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 10; 11; 12; 15.

Do đó Q3 = 11.

2. Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 15

Vì cỡ mẫu là n = 8 nên trung vị của mẫu số liệu trên là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và 5. Tức là Me = 8+92=8,5