Phương pháp giải:
- Đưa hàm số về dạng phương trình bậc nhất ẩn \[m\]: \[Am + B = 0\], tìm điều kiện để phương trình nghiệm đúng \[A = B = 0\], từ đó xác định điểm cố định \[M\] mà đường thẳng \[d\] đi qua.
- Sử dụng định lí đường vuông góc và đường xiên, chứng minh \[d\left[ {O;d} \right] \le OM\]. Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow OM \bot d\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \left[ {m - 1} \right]x + 4m\\ \Leftrightarrow mx - x + 4m - y = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 4} \right]m - x - y = 0\end{array}\]
Phương trình trên đúng với mọi \[m\] khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\ - x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 4\end{array} \right.\].
\[ \Rightarrow \] Đường thẳng \[\left[ d \right]\] đi qua điểm \[M\left[ {4; - 4} \right]\,\,\forall m\].
Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] lên đường thẳng \[d\], ta có \[d\left[ {O;d} \right] = OH \le OM\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Do đó khoảng cách từ \[O\] đến đường thẳng \[d\] đạt GTLN khi và chỉ khi
\[d\left[ {O;d} \right] = OM = \sqrt {{{\left[ {4 - 0} \right]}^2} + {{\left[ { - 4 - 0} \right]}^2}} = 4\sqrt 2 \].
Chọn C.
Đáp án:
a. $M[0; 2]$
b. $m = 2 + \sqrt{3}$
$m = 2 - \sqrt{3}$
c. $m= 2$
Giải thích các bước giải:
a. Giả sử M là điểm cố định của họ đường thẳng $y = [m - 2]x + 2$. Khi đó đường thẳng luôn đi qua điểm M với mọi giá trị của m. Xét $m = 2$, ta có: $y = 2$
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng 2.
Xét $m = 1$, ta có:
$2 = [1 - 2].x + 2 \to - x + 2 = 2 \to x = 0$
Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qu điểm
$M[0; 2]$
b. Giao điểm của đường thẳng với hai trục toạ độ:
- Khi $x = 0 \to y = 2$. Do đó nó cắt trục tung tại điểm $M[0; 2]$
- Khi $y = 0 \to [m - 2].x + 2 = 0$
$\to [m - 2].x = - 2 \to x = \dfrac{- 2}{m - 2}$
Vậy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm
$N[\dfrac{- 2}{m - 2}; 0]$
Gọi H là chân đường vuông góc ket từ O đến đường thẳng đã cho. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$
Hay:
$\dfrac{1}{1^2} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{[\dfrac{- 2}{m - 1}]^2}$
Suy ra:
$\dfrac{[m - 2]^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$
$\to \dfrac{[m - 2]^2 + 1}{4} = 1$
$\to [m - 2]^2 = 3$
*] $m - 2 = \sqrt{3} \to m = 2 + \sqrt{3}$
*] $m - 2 = - \sqrt{3} \to m = 2 - \sqrt{3}$
c. Tương tự như trên, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng $d$. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{[m - 2]^2 + 1}{4}$
Do đó, $OH^2 = \dfrac{4}{[m - 2]^2 + 1}$
OH lớn nhất khi $OH^2$ lớn nhất, khi đó: $[m - 2]^2 + 1$ nhỏ nhất
Vì: $[m - 2]^2 + 1 \geq 1 \to [m - 2]^2 + 1$ nhỏ nhất khi $m - 2] = 0 \to m = 2$
Đáp án:
a. $M[0; 2]$
b. $m = 2 + \sqrt{3}$
$m = 2 - \sqrt{3}$
c. $m= 2$
Giải thích các bước giải:
a. Giả sử M là điểm cố định của họ đường thẳng $y = [m - 2]x + 2$. Khi đó đường thẳng luôn đi qua điểm M với mọi giá trị của m. Xét $m = 2$, ta có: $y = 2$
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng 2.
Xét $m = 1$, ta có:
$2 = [1 - 2].x + 2 \to - x + 2 = 2 \to x = 0$
Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qu điểm
$M[0; 2]$
b. Giao điểm của đường thẳng với hai trục toạ độ:
- Khi $x = 0 \to y = 2$. Do đó nó cắt trục tung tại điểm $M[0; 2]$
- Khi $y = 0 \to [m - 2].x + 2 = 0$
$\to [m - 2].x = - 2 \to x = \dfrac{- 2}{m - 2}$
Vậy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm
$N[\dfrac{- 2}{m - 2}; 0]$
Gọi H là chân đường vuông góc ket từ O đến đường thẳng đã cho. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$
Hay:
$\dfrac{1}{1^2} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{[\dfrac{- 2}{m - 1}]^2}$
Suy ra:
$\dfrac{[m - 2]^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$
$\to \dfrac{[m - 2]^2 + 1}{4} = 1$
$\to [m - 2]^2 = 3$
*] $m - 2 = \sqrt{3} \to m = 2 + \sqrt{3}$
*] $m - 2 = - \sqrt{3} \to m = 2 - \sqrt{3}$
c. Tương tự như trên, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng $d$. Ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{[m - 2]^2 + 1}{4}$
Do đó, $OH^2 = \dfrac{4}{[m - 2]^2 + 1}$
OH lớn nhất khi $OH^2$ lớn nhất, khi đó: $[m - 2]^2 + 1$ nhỏ nhất
Vì: $[m - 2]^2 + 1 \geq 1 \to [m - 2]^2 + 1$ nhỏ nhất khi $m - 2] = 0 \to m = 2$
Với m = 2, [d] có phương trình y = 2. Khoảng cách từ gốc O tới d là 2.
Với \[m\ne2\]:
OxydABH
Từ O, kẻ OH vuông góc với đường thẳng [d] : y = [m - 2]x + 2 [H thuộc d]
Gọi A, B là giao điểm của d với Oy và Ox. Ta tìm tọa độ của A và B.
Với x = 0 \[\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left[0;2\right]\Rightarrow OA=2.\]
Với \[y=0\Rightarrow x=\frac{2}{2-m}\Rightarrow B\left[\frac{2}{2-m};0\right]\Rightarrow OB=\left|\frac{2}{2-m}\right|\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{0A^2}+\frac{1}{OB^2}\Rightarrow\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{4}+\frac{\left[2-m\right]^2}{4}=\frac{1+\left[2-m\right]^2}{4}\]
\[\Rightarrow OH=\frac{2}{\sqrt{1+\left[2-m\right]^2}}\]
Do \[m\ne2\] nên \[\sqrt{1+\left[2-m\right]^2}>1\Rightarrow OH< 2.\]
Vậy kết hợp cả hai trường hợp ta có max OH = 2 khi m = 2.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới [d] là 2, khi m = 2.
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Cho đường thẳng: y = [m - 2]x +2 [d].Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng d bằng 1
Các câu hỏi tương tự
Cho hàm số y = [ m - 1 ] x + m + 3 có đồ thị là đường thẳng [ d ] .
1] Vẽ đồ thị hàm số với m = 1/2
2] Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biển , nghịch biển .
3] Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A [ 2 ; 5 ] .
4] Tìm m để đường thẳng [ d ] hợp với trục hoành một góc 60° , 150° .
5] Tìm m để đường thẳng [ d ] Có hệ số góc bằng 45 .
6] Tìm m để đường thẳng [ d ] song song với đường thẳng [ d1 ] : y = 2x + 1 .
7] Tìm m để đường thẳng [ d ] vuông góc với đường thẳng [ d2 ] : y = 5x - 7 .
8] Tìm m để đường thẳng [ d ] cắt đường thẳng [ d3 ] : y = 5x - 2 tại điểm có hoành độ bằng - 2 .
9] Tìm m để đường thẳng [ d ] cắt đường thẳng [ d4 ] : y = x - 7 tại điểm có tung độ bằng 1/2.
10] Gọi A lần lượt là giao điểm của đường thẳng [ d ] với trục hoành , trục tung . Tìm m để tam giác AOE có diện tích bằng 16 .
11] Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng [ d ] bằng 1/căn 10
12] Cho các đường thẳng : [ d5 ] : y = 3x - 1 và [ d6 ] : y = - x + 5 . Tìm giá trị của m để ba đường thẳng [ đ ] [ d5 ] , [ d6 ] đồng quy tại một điểm .
13] Tìm giá trị của m để đường thẳng [ d ] và đường thẳng [ d7 ] : y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm
a] nằm trên trục hoành ; b] nằm trên trục tung ; c] nằm bên phải trực tung ; d] nằm bên trái trục tung ; e] nằm phía trên trục hoành ; f] nằm phía dưới trục hoành ; g] thuộc góc phần tư thứ [ I ] , thứ [ II ] , thứ [ 111 ] , thứ [ IV ] .
14] Chứng minh đường thẳng [ d ] luôn đi qua một điểm cố định .
15] Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng [ d ] lớn nhất , nhỏ nhất .
16 ] Tìm m để khoảng cách từ điểm M [ 2 ; - 3 ] đến đường thẳng [ d ] lớn nhất , nhỏ nhất .
17 ] Tìm m để đường thẳng [ d ] tiếp xúc với đường tròn có tâm là gốc tọa độ , bản kinh bằng căn 5 tại điểm M [ 1 ; 2 ] .
Cho đường thẳng [d] có phương trình y =[m-2]x+2
a, Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt [d] =1
b, Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến [d] lớn nhất