10:13:3224/12/2020
Các em đã biết điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm là biệt thức delta lớn hơn hoặc bằng không [Δ ≥ 0]? Vậy Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi nào? khi đó biệt thức delta thỏa điều kiện gì?
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi nào? điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất?
I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ' [chỉ tính Δ' khi hệ số b chẵn].
Δ = b'2 - ac với b = 2b'.
+ Nếu Δ' > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ' = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ' < 0: Phương trình vô nghiệm.
→ Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi nào?
- Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất khi biệt thức delta = 0 [Δ = 0]. [khi đó phương trình có nghiệm kép].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm duy nhất khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ=0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm duy nhất.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất.
* Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
- Tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Tìm các giá trị m để phương trình: mx2 - 2[m-1]x + m-3 = 0 có nghiệm duy nhất.
* Lời giải:
- Nếu m=0 thì phương trình đã cho trở thành 2x - 3 = 0 là pt bậc nhất, có nghiệm duy nhất là x = 3/2.
- Nếu m≠0, khi đó pt đã cho là pt bậc 2 một ẩn, có các hệ số:
a=m; b=-2[m-1]; c=m-3.
Và Δ = [-2[m-1]]2 - 4.m.[m-3] = 4[m2-2m+1] - [4m2-12m]
= 4m2- 8m + 4-4m2 + 12m = 4m+4
→ Để để phương trình có nghiệm duy nhất [nghiệm kép] thì Δ=0 ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔ m = -1.
⇒ Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=0 hoặc m=-1.
* Bài tập 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3x2 + 2[m-3]x + 2m+1 = 0.
* Lời giải:
- Ta tính biệt thức delta thu gọn: Δ'=[m-3]2 - 3[2m+1] = m2 - 6m + 9 - 6m - 3 = m2 - 12m + 6.
→ Phương trình có nghiệm duy nhất [pt bậc 2 có nghiệm kép] khi:
Δ'=0 ⇔ m2 - 12m + 6 = 0 [*]
Giải phương trình [*] là pt bậc 2 theo m bằng cách tính Δ'm = [-6]2 - 6 = 30>0.
→ Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt:
- Khi
- Khi
* Bài tập 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x2 - mx - 1 = 0.
* Bài tập 4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3x2 + [m-2]x + 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x2 - 2mx -m+1 = 0.
* Bài tập 6: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm duy nhất: mx2 - 4[m-1]x + 4[m+2] = 0.
Như vậy, các em thấy, điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm duy nhất là biệt thức delta bằng 0 [Δ=0], khi đó, phương trình bậc 2 có nghiệm kép. Hy vọng qua bài viết này với các bài tập minh họa có lời giải, các em đã hiểu rõ hơn. Mọi góp ý để xây dựng bài viết tốt hơn các em hãy để lại nhận xét dưới phần đánh giá nhé, chúc các em học tốt.
08:56:4124/12/2020
Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.
I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ' [chỉ tính Δ' khi hệ số b chẵn].
Δ = b'2 - ac với b = 2b'.
+ Nếu Δ' > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ' = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ' < 0: Phương trình vô nghiệm.
→ Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?
- Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. [khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
* Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
- Tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
* Lời giải:
- Xét phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 có:
a = 2; b = -[1 - 2a] = 2a - 1; c = a - 1.
Δ = [2a - 1]2 - 4.2.[a - 1] = 4a2 - 12a + 9 = [2a - 3]2.
- Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.
* Bài tập 2: Cho phương trình mx2 - 2[m - 1]x + m - 3 = 0 [*]. Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.
* Lời giải:
- Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
- Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:
a = m; b = -2[m - 1]; c = m - 3.
Và Δ = [-2[m-1]]2 - 4.m.[m-3] = 4[m2 - 2m + 1] - [4m2 - 12m]
= 4m2 - 8m + 4 - 4m2 + 12m = 4m + 4
- Như vậy, m = 0 thì pt [*] có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình [*] có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
⇒ Kết luận: Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.
* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 - 2[m + 4]x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 - mx - 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 + [m - 2]x + 1 = 0.
* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 - 2mx - m + 1 = 0.
* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 - 4[m - 1]x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.