Trong mặt phẳng oxy cho điểm a 1 3 đường tròn tâm o và đi qua a có phương trình
|
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Lập phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.  Nội dung bài viết Lập phương trình đường tròn: Lập phương trình đường tròn. Phương pháp giải: Cách 1. Tìm toạ độ tâm I (a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2. Cách 2. Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 −2ax − 2by + c = 0 (hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0). Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R. A ∈ (C) ⇔ IA = R. (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d (I; ∆) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d (I; ∆1) = d (I; ∆2) = R. (C) cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ (d (I; ∆3))2 + a2 = R2. BÀI TẬP DẠNG 2 Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I(3; −5) bán kính R = 2. Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là (x − 3)2 + (y + 5)2 = 22 ⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0. Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A (1; 6), B (−3; 2). Đường tròn đường kính AB có: Tâm I (−1; 4) là trung điểm AB. Bán kính R = AB = 2√2. Do đó phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + (y − 4)2 = 2√2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 8y + 9 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I (−1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + 7 = 0. Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên R = d (I; ∆) = |−1 − 4 − 7| √1 + 4 = 2√5. Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 4. Viết phương trình đường tròn tâm I (−2; 1), cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2. Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có: h = d (I, ∆) = |−2 − 2 + 3|. Gọi R là bán kính đường tròn. Vậy phương trình đường tròn là: (x + 2)2 + (y − 1)2 = 6. Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M (−2; 4), N (5; 5), P (6; −2). Lời giải. Cách 1. Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình: 4 + 16 + 4a − 8b + c = 0, 25 + 25 − 10a − 10b + c = 0, 36 + 4 − 12a + 4b + c = 0 ⇔ a = 2, b = 1, c = −20. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0. Cách 2. Gọi I (x; y) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra: IM = IN = IP ⇔ IM2 = IN2, IM2 = IP2 nên ta có hệ (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 5)2 + (y − 5)2, (x + 2)2 + (y − 4)2 = (x − 6)2 + (y + 2)2 ⇔ x = 2, y = 1. Suy ra I(2; 1), bán kính IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25. Ví dụ 6. Cho hai điểm A (8; 0) và B (0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Lời giải. a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I (4; 3) và bán kính R = IA = p (8 − 4)2 + (0 − 3)2 = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = √2 + 62 = 10. Mặt khác OA.OB = pr(vì cùng bằng diện tích tam giác ABC). Suy ra r = OA.OB OA + OB + AB = 2. Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4. Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A (1; 2), B (4; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B. Lời giải. Cách 1. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d nên I (t; 2t − 5). Hai điểm A, B cùng thuộc (C) nên IA = IB ⇔ (1 − t)2 + (7 − 2t)2 = (4 − t)2 + (6 − 2t)2 ⇔ t = 1. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Cách 2. Gọi M là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận AB = (3; −1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x − y − 6 = 0. Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ 2x − y − 5 = 0, 3x − y − 6 = 0 ⇒ I(1; −3). Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A (−2; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2. Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d1 nên I (−3t − 8; t). Theo giả thiết bài toán, ta có: d (I, d2) = IA ⇔ |3 (−3t − 8) − 4t + 10| √2 + 42 = (−3t − 8 + 2)2 + (t − 1)2 ⇔ t = −3. Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ví dụ 9. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0. Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K (6a + 10; a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra |3(6a + 10) + 4a + 5| = |4(6a + 10) − 3a − 5| ⇔ |22a + 35| = |21a + 35| ⇔ a = 0, a = −70. Với a = 0 thì K (10; 0) và R = 7 suy ra (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Với a = −70 thì K và R. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C): (x − 10)2 + y2 = 49. Ví dụ 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x − y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2√3. Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I (a; a + 1). a = 1, a = −9. Với a = 1 ta có I (1; 2), phương trình đường tròn là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4. Với a = −9 ta có I (−9; −8), phương trình đường tròn là: (x + 9)2 + (y + 8)2 = 4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A (−1; 3), B (1; 4), C (3; 2). Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−1; 1), B (3; 3) và đường thẳng d: 3x − 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với d. Đường trung trực ∆ đi qua M (1; 2) là trung điểm AB và nhận AB = (4; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 2x + y − 4 = 0. Do (C) đi qua hai điểm A, B nên tâm I của (C) thuộc trung trực ∆ nên I (t; 4 − 2t). Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x + 2y − 3 = 0 và ∆: x + 3y − 5 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính bằng 2√10, có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: √3x + y = 0. và d2: √3x − y = 0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng √3 và điểm A có hoành độ dương.Bài 6. Cho ba đường thẳng d1: x−y + 1 = 0, d2: 3x−4y = 0, d3: 4x−3y −3 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2 tại hai điểm A, B và cắt đường thẳng d3 tại hai điểm C, D sao cho AB = CD = 2√3.
● Cho đường thẳng Δ:ax+by+c = 0 Cách 1: Sử sụng tính chất hai đường thẳng vuông góc ( nêu ở trên) Cách 2: Sử dụng phương pháp quý tích, với các lưu ý dưới đây: Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: 6x - 5y + 18 = 0 qua phép quay Q(O,90°). Hướng dẫn giải: Cách 1. d'⊥d nên phương trình có dạng 5x + 6y + c = 0 Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ c = 18, hay d': 5x + 6y + 18 = 0. Cách 2. Ta có phương trình d:6x - 5y + 18 = 0 Gọi d’ là ảnh của d qua Q(O,90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d' Thay (*) vào phương trình của d ta được: d: 6y' - 5(-x') + 18 = 0 ⇔ d': 5x + 6y + 18 = 0 Vậy: d': 5x + 6y + 18 = 0. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°. Hướng dẫn giải: Cách 1. Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d. Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 2y + c = 0. Lấy A(0;3) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;3) biến thành điểm B(3;0) ∈ d'. Khi đó c = -3. Vậy phương trình đường d' là x + 2y - 3 = 0. Cách 2. Ta có phương trình d: 2x - y + 3 = 0 Gọi d’ là ảnh của d qua Q(O,-90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d' Thay (*) vào phương trình của d ta được: 2(-y') - x + 3 = 0 ⇔ d': x' + 2y' - 3 = 0 Vậy: d': x + 2y - 3 = 0. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 , điểm I(3;1), phép quay Q(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'. Hướng dẫn giải: Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d' Đường thẳng d' có dạng: 2x - y + c = 0. Vì d' đi qua Inên 2.3 - 1 + c = 0 ⇒ c = -5 ⇒ d': 2x - y - 5 = 0 Câu 1. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x - 3y + 15 = 0 qua phép quay Q(O,90°). A. d': x + y + 15 = 0. B. d': 3x + 5y + 5 = 0. C. d': 3x + y + 5 = 0. D. d': 3x + 5y + 15 = 0. Lời giải Chọn D d'⊥d nên phương trình có dạng 3x + 5y + c = 0 Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ C = 15, hay d': 3x + 5y + 15 = 0. Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ:x - y + 2 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90°. A. d:x + y + 2 = 0. B. d:x - y + 2 = 0. C. d:x + y - 2 = 0. D. d:x + y + 4 = 0. Lời giải Chọn A Đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90° nên d vuông góc với Δ. Phương trình d có dạng x + y+c = 0 (1) Chọn M(0;2) ∈ Δ, M'là ảnh của M qua phép quay nên M'(-2;0) ∈ d Thay vào (1): c = 2. Vậy phương trình d:x + y + 2 = 0. Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là: A. 45°. B. 60°. C. 90°. D. 120°. Lời giải. Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0 là vuông góc với nhau. Suy ra φ = 90°. Chọn C. Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y-4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là: A. 45°. B. 60°. C. 90°. D. 120°. Lời giải. Đường thẳng a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến Đường thẳng b: x + 7y-4 = 0 có vectơ pháp tuyến Góc α là góc tạo bởi a và b ta có
Vậy φ = 45°. Chọn A. Câu 5. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d'. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d'? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải Chọn D Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng. Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ0xy, phép quay tâm I(4;-3)góc quay 180° biến đường thẳng d: x + y - 5 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình A. x - y + 3 = 0. B. x + y + 3 = 0. C. x + y + 5 = 0. D. x + y - 3 = 0. Lời giải Chọn B Ta có phép quay Q(I,180°)là phép đối xứng tâm I Vì I∉dnên nếu ĐI(d) = d' thì d//d', suy ra phương trình d': x + y + m = 0 (m ≠ -5). Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°. A. d': x + 3y + 2 = 0. B. d': x + 3y-2 = 0. C. d': 3x - y-6 = 0. D. d': x - 3y-2 = 0. Lời giải Chọn B Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d. Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 3y + m = 0. Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d'. Khi đó m = -2. Vậy phương trình đường d' là x + 3y - 2 = 0. Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 1 = 0, điểm I(1;-2), phép quay Q(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'. A. -x + y - 2 = 0. B. x - y - 1 = 0. C. x - y + 3 = 0. D. x - y - 3 = 0. Lời giải. Chọn D Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d' Đường thẳng d' có dạng: x - y + c = 0. Vì d' đi qua Inên 1 + 2 + c = 0 ⇒ c=-3 ⇒ d': x - y - 3 = 0 Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I(2;1) và đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0. Tìm ảnh của d qua Q(I,45°) Lời giải. Chọn D Chọn 2 điểm M(-2;0), N(1;-2) ∈ d. Gọi M'(x1;y1) và N' (x2;y2) là ảnh của M, N qua Q(I,45°). Áp dụng biểu thức tọa độ: Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp |
