Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:
Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:
* ai {0,1,2,,9} và a1 0.
* x là số chẵn an là số chẵn.
* x là số lẻ an là số lẻ.
* x chia hết cho 3 a1+a2++an chia hết cho 3.
* x chia hết cho 4 chia hết cho 4.
* x chia hết cho 5 an=0 hoặc an=5.
* x chia hết cho 6 x là số chẵn và chia hết cho 3.
* x chia hết cho 8 chia hết cho 8.
* x chia hết cho 9 a1+a2++an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11 tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d {0,1,2,4,5,6,8}, a 0.
Vì x là số chẵn nên d {0,2,4,6,8}.
TH1: d = 0 có 1 cách chọn d.
Vì a 0 nên ta có 6 cách chọn a {1,2,4,5,6,8}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b {1,2,4,5,6,8}\{a}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
TH2: d 0, d chẵn nên d {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d, do a 0 nên ta có 5 cách chọn a {1,2,4,5,6,8}\{d}.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d {0,1,2,3,4,5,6}, a 0.
Vì a 0 nên a có 6 cách chọn a {1,2,3,4,5,6}.
Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.
Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.
Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.
Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.
Bài 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d,e,f,g,h {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên h {1,3,7} nên h có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Lời giải:
a,b,c,d {0,1,2,3,4,5,6},a 0
Vì x là số lẻ nên d {1,3,5} vậy d có 3 cách chọn.
Vì a 0 và với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a {1,2,3,4,5,6}\{d}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b {0,1,2,3,4,5,6}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,d}.
Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Lời giải:
a,b,c,d,e {0,1,2,3,4,5,6},a 0 là số cần lập, e {0,5}.
TH1: e = 0 suy ra có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
TH2: e = 5 suy ra e có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 5.5.4.3 = 300.
Trường hợp này có 300 số
Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho tập hợp số A = {0,1,2,3,4,5,6}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6},{0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5,6}.
Vậy số các số cần lập là: 4[4! 3!] + 3.4! = 144 số.
Bài 4: Có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10?
Lời giải:
a,b,c,d,e là các chữ số, a 0.
Vì x chia hết cho 10 nên e = 0, vậy e có 1 cách chọn.
Chọn a có 9 cách chọn a {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn b có 10 cách chọn b {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn c có 10 cách chọn c {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Chọn d có 10 cách chọn d {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Vậy số các số cần lập là 1.9.10.10.10 = 9000 số.
Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ.
Lời giải:
Với a, b, c, d, e, f, g, h {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} là số cần tìm.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên h có 4 cách chọn.
Với mỗi cách chọn a và h thì sẽ có 6 cách chọn b; 5 cách chọn c; 4 cách chọn d, 3 cách chọn e; 2 cách chọn f và 1 cách chọn g.
Vậy có 4.4.6.5.4.3.2.1 = 11 520 số thỏa yêu cầu bài toán.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi