Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước cũng là một dạng toán về phương trình đường tròn mà chúng ta thường gặp.
Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Khối A [chungcutuhiepplaza.com] sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.
I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng
Giả sử đường tròn [C] có tâm I[a; b]; bán kính R và và đường thẳng [d] cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với đường thẳng [d]:
- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn [C].
- Bước 2: Vì Δ ⊥ [d]: Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của [d]:
Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Bx - Ay + c1 = 0
- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên d[I,Δ] = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.
II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng
* Bài tập 1 [Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10]: Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến với [C] vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.
> Lời giải:
- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ [x2 – 4x + 4] + [y2 + 8y + 16] = 25
⇔ [x – 2]2 + [y + 4]2 = 25.
Vậy [C] có tâm I[2 ; –4], bán kính R = 5.
- Gọi tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d]: 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là [Δ].
- Ta có [d] có VTPT
- Vì [Δ] ⊥ [d] nên có VTPT
Vậy phương trình tiếp tuyến [Δ] có dạng: 4x + 3y + c = 0.
[C] tiếp xúc với [Δ] ⇒ d[I; Δ] = R
Vậy [Δ] : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.
* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C]: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng [d]; 3x + 4y + 21 = 0
> Lời giải:
- Ta có: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0
⇔ [x2 - 4x + 4] + [y2 + 2.4y + 16] - 25 = 0
⇔ [x - 2]2 + [y + 4]2 = 52
Nên đường tròn [C] có tâm I[2;-4] và bán kính R = 5.
Tiếp tuyến Δ vuông góc với [d]: 3x+ 4y + 21 = 0 nên Δ nhận VTCP của [d] làm VTPT, có:
Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: 4x - 3y + c = 0.
Vì Δ tiếp xúc với đường tròn [C] nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ bằng R: d[I,Δ] = R
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu là:
4x - 3y + 5 = 0 và 4x - 3y - 45 = 0.
Xem thêm: Tag: Đề Thi Học Sinh Giỏi Vật Lý 12 Cấp Tỉnh, Đề Thi Học Sinh Giỏi Môn Vật Lý Lớp 12
Như vậy chungcutuhiepplaza.com đã giới thiệu với các em về cách viết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đương tròn vuông góc với đường thẳng, hy vọng giúp các em hiểu bài hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước. Cho đường tròn [C] có tâm I[a, b] và bán kính R. Viết phương trình tiếp tuyến [∆] của [C] có phương xác định trước. Viết dạng phương trình tổng quát của ∆. Sử dụng điều kiện cho trước và d[I, ∆] = R để tìm phương trình tổng quát của ∆. BÀI TẬP DẠNG 5 Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số a để đường thẳng [∆]: x + [a − 1]y − a = 0 tiếp xúc với đường tròn [C]: x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0. Đường tròn [C] có tâm I[1; −2] và bán kính R = √2 + 22 − 2 = √3. Để đường thẳng [∆] là tiếp tuyến của đường tròn [C] thì d[I, ∆] = R ⇔ |1 − 2[a − 1] − a|. Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn [C] : x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0. Đường tròn [C] có tâm I[1; −2] và bán kính R = 1. Vì ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên phương trình ∆ có dạng 2x − y + m = 0. Vì ∆ là tiếp tuyến của [C] nên ta có d[I, ∆] = R ⇔ |2 + 2 + m|. Nếu m = √5 − 4 thì phương trình của ∆ là 2x − y + √5 − 4 = 0. Nếu m = √5 − 4 thì phương trình của ∆ là 2x − y − √5 − 4 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn [C]: x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng [d]: x + y − 5 = 0 một góc 45◦. Đường tròn [C] có tâm I[1; 2] và bán kính R = √2 + 22 − 4 = 1. Gọi véc-tơ pháp tuyến của ∆ là n1 = [a; b] trong đó a2 + b2 khác 0. Véc-tơ pháp tuyến của d là n2 = [1; 1]. Vì [∆] tạo với d một góc 60◦ nên ta có. Với a = 0, phương trình ∆ có dạng y + m = 0. Có d[I, ∆] = R ⇔ |2 + m| ⇔ m = −1, m = −3. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0. Với b = 0, phương trình ∆ có dạng x + m = 0. Có d[I, ∆] = R ⇔ |1 + m| = 1 ⇔ m = 0, m = −2. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là x = 0 hoặc x − 2 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0 hoặc x = 0 hoặc x − 2 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng [∆] : [m − 1]y + mx − 2 = 0 là tiếp tuyến của đường tròn [C] : x2 + y2 − 6x + 5 = 0. Đường tròn [C] có tâm I[3; 0] và bán kính R = 2. Để [∆] là tiếp tuyến của đường tròn [C] thì ta phải có d[I, ∆] = |3m − 2| [m − 1]2 + m2 = 2 ⇔ 4[2m2 − 2m + 1] = 9m2 − 12m + 4 ⇔ m2 − 4m = 0 ⇔ m = 0, m = 4. Bài 2. Cho đường tròn [C]: x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 và đường thẳng d : 3x + 4y − 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] thỏa mãn: a] Song song với đường thẳng d. b] Vuông góc với đường thẳng d. [C] có tâm I[2; 3], bán kính R = 5. a] Phương trình đường thẳng ∆1 song song với d có dạng: 3x + 4y + c1 = 0. ∆1 tiếp xúc với [C] nên d[I, ∆1] = R. Vậy phương trình tiếp tuyến của [C] song song với d là 3x + 4y + 7 = 0 hoặc 3x + 4y − 43 = 0. b] Phương trình đường thẳng ∆2 song song với d có dạng: 4x − 3y + c2 = 0. ∆2 tiếp xúc với [C] nên d[I, ∆2] = R. Vậy phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với d là 4x − 3y + 26 = 0 hoặc 4x − 3y − 24 = 0. Bài 3. Cho đường tròn [C] : [x − 1]2 + y2 = 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C] biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x − 1. Gọi phương trình tiếp tuyến [∆] song song với y = 2x − 1 là y − 2x + n = 0. Đường tròn [C] có tâm I[1; 0] và bán kính R = 3. Phương trình tiếp tuyến [∆] là y − 2x + 2 − 3√5 = 0 hoặc y − 2x + 2 + 3√5 = 0. Bài 4. Cho đường tròn [C]: x2 + y2 = 25. Viết phương trình tiếp tuyến [∆] của đường tròn [C] biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên [Oy]. Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên [Oy] nên ta suy ra tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 30◦. Đường tròn [C] có tâm O[0; 0] và bán kính R = 5. Gọi véc-tơ pháp tuyến của [∆] là n = [a, b] với a2 + b2 > 0. Bài 5. Cho đường tròn [C]: x2 + y2 − 2x − 4y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác cân. Phương trình đường tròn [C] có tâm I[1; 2] và bán kính R = √5. Để tiếp tuyến cùng với các trục tọa độ tạo thành tam giác cần thì tiếp tuyến phải có hệ số góc là 1 hoặc −1. a] Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến [∆] là x + y + m = 0. b] Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến [∆] là x − y + m = 0. Bài 6. Cho đường tròn [C1]: x2 + y2 − 6x − 8y − 11 = 0 và đường tròn [C2]: x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến chung của [C1] và [C2]. [C1] có tâm I1[3; 4], bán kính R1 = 6. [C2] có tâm I2[1; 3], bán kính R2 = 4. Có 2 = |R1 − R2| < I1I2 = [1 − 3]2 + [3 − 4]2 = √5 < R1 + R2 = 10. Do đó [C1] và [C2] cắt nhau và có 2 tiếp tuyến chung. Phương trình tiếp tuyến chung ∆ có dạng ax + by + c = 0, [a2 + b2 khác 0].
Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn [C1] : x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và [C2] : x2 + y2 − 4x − 14y + 48 = 0 sao cho 2 đường tròn nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là tiếp tuyến chung đó. Đường tròn [C1] có tâm I1[−1; 1] và bán kính R1 = √5. Đường tròn [C2] có tâm I2[2; 7] và bán kính R2 = √5. Do đó tiếp tuyến chung cần tìm của hai đường tròn song song với đường thẳng I1I2. Ta có I1I2 = [3; 6]. Suy ra véc-tơ pháp tuyến của I1I2 là n = [2; −1]. Do đó phương trình tiếp tuyến chung cần tìm [∆] của [C1]; [C2] có dạng 2x − y + m = 0. Vì vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm của [C1] và [C2] là 2x − y − 2 = 0 hoặc 2x − y + 8 = 0.