- LG a
- LG b
Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 1. Trên các tia AA, AB, AD [có chung gốc A] lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.
LG a
Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp[MNP] đi qua đỉnh C' của hình lập phương.
Lời giải chi tiết:
Ta chọn Oxyz sao cho O trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D, A. Khi đó ta có \[A\left[ {0;0;0} \right]\,\,;\,\,B\left[ {1;0;0} \right]\,\,;\] \[D\left[ {0;1;0} \right]\,\,;\,\,A'\left[ {0;0;1} \right]\,;\,\,C'\left[ {1;1;1} \right]\,\,;\] \[\,M\left[ {0;0;m} \right]\,\,;\,\,N\left[ {n;0;0} \right]\,\,;\,\,P\left[ {0;p;0} \right]\]
Mặt phẳng [MNP] có phương trình đoạn chắn
\[{x \over n} + {y \over p} + {z \over m} = 1\]
Nên mặt phẳng đó đi qua đỉnh C khi và chỉ khi:
\[{1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} = 1\,\,\left[ * \right]\]
LG b
Trong trường hợp mp[MNP] luôn đi qua C, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?
Lời giải chi tiết:
Thể tích tứ diện AMNP là \[V = {1 \over 6}AM.AN.AP = {1 \over 6}mnp\] [trong đó m, n, p là các số dương thỏa mãn điều kiện [*]].
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
\[{1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {mnp}}} \] \[\Leftrightarrow {1 \over {mnp}} \le {1 \over {{3^3}}} \] \[\Leftrightarrow mnp \ge 27.\]
\[ \Rightarrow V = \frac{1}{6}mnp \ge \frac{{27}}{6} = \frac{9}{2}\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[{1 \over m} = {1 \over n} = {1 \over p} = {1 \over 3}\] \[ \Leftrightarrow m = n = p = 3.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích V là \[{{9} \over 2}\], khi đó hình chóp AMNP là hình chóp đều.