- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG g
- LG h
Trong không gianOxyzcho ba điểmA[1;0;0], B[0;0;1] và C[2;1;1].
LG a
Chứng minhA, B, Clà ba đỉnh của một tam giác .
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {CA} = [ - 1; - 1; - 1],\overrightarrow {CB} = [ - 2; - 1;0]\]
\[ \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left[ {\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right] \]
\[= [ - 1;2; - 1] \ne \overrightarrow 0 \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \] không cùng phương hayA, B, Ckhông thẳng hàng, tứcA, B, Clà ba đỉnh của một tam giác.
LG b
Tính chu vi, diện tích tam giácABC.
Lời giải chi tiết:
Chu vi tam giácABCbằng \[AB + BC + CA = \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \]
\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]} \right| \]
\[= {1 \over 2}\sqrt {{{[ - 1]}^2} + {2^2} + {{[ - 1]}^2}} = {{\sqrt 6 } \over 2}.\]
LG c
Tìm tọa độ điểmDđểABCDlà hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Giả sửD = [x,y,z]ta có : \[\overrightarrow {AB} = [ - 1;0;1],\overrightarrow {DC} = [2 - x;1 - y;1 - z].\]
Tứ giácABCDlà hình bình hành \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2 - x = - 1 \hfill \cr 1 - y = 0 \hfill \cr 1 - z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow D = [3;1;0].\]
LG d
Tính độ dài đường cao \[{h_A}\] của tam giácABCkẻ từA.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[{h_A}\] là đường cao của tam giácABCkẻ từA, ta có :
\[{h_A} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\]
LG e
Tính các góc của tam giácABC.
Lời giải chi tiết:
\[{\mathop{\rm cosA}\nolimits} = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = 0 \Rightarrow A = {90^0}\] [tam giácABCvuông tạiA].
\[\eqalign{ & \cos B = {{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \over {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = {2 \over {\sqrt {10} }} = {{\sqrt {10} } \over 5}. \cr & \cos C = {{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} } \over {\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = {3 \over {\sqrt {15} }} = {{\sqrt {15} } \over 5}. \cr} \]
LG g
Xác định tọa độ trực tâm tam giácABC.
Lời giải chi tiết:
Tam giácABCvuông tạiAnên trực tâmHtrùngA. VậyH=[1;0;0].
Ta có thể làm cách khác như sau :
GọiH[x;y;z]là trực tâm của tam giácABC, ta có hệ
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AH} \text{ đồng phẳng}\hfill \cr} \right. \cr & \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0. \hfill \cr} \right.\]
Ta có :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = [x - 1;y;z],\overrightarrow {BC} = [2;1;0],\cr&\overrightarrow {BH} = [x;y;z - 1], \cr & \overrightarrow {AB} = [ - 1;0;1],\overrightarrow {AC} = [1;1;1] \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = [ - 1;2; - 1],\cr&\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 1 - x + 2y - z. \cr} \]
Vậy ta có hệ phương trình :
\[\left\{ \matrix{ 2x - 2 + y = 0 \hfill \cr x + y + z - 1 = 0 \hfill \cr 1 - x + 2y - z = 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x + y = 2 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr x - 2y + z = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[1;0;0].\]
LG h
Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tam giácABCvuông tạiAnên tâmIcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyềnBC.Do đó \[I = \left[ {1;{1 \over 2};1} \right].\]
Ta có thể làm cách như sau:
GọiI[x;y;z]là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\]. Ta có hệ
\[\left\{ \matrix{ AI = BI \hfill \cr AI = CI \hfill \cr\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AI} \text{đồng phẳng}\hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr A{I^2} = C{I^2} \hfill \cr \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AI} = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {1 \over 2} \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I[1;{1 \over 2};1]. \]