Bài tập cơ sở của không gian vectơ
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt! Show
1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không gian vectoS={e1 + e2 ,…,en } là cơ sở của không gian V nếu:
Khi đó số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử 1.1Cơ sở chính tắc
1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V khôngS là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:
a. S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}⊂R4 S có 3 phần tử mà dim R4 =4 => S không phải là cơ sở b. S={(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}⊂R3 số phần tử =dim R3 =3 Xét định thức: > phụ thuộc tuyến tính => S không là sơ sở c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}⊂P2 Số phần tử=dim P2 =3 Xét định thức: => độc lập tuyến tính => S là cơ sở 2.Toạ độ không gian vecto3.Ma trận chuyển cơ sở S→TMa trận chuyển S→T là ma trận toạ độ của T theo S Ví dụ: Trong không gian R3 cho 2 hệ cơ sở S={ u1(1,1,1), u2(1,0,2), u3(1,2,1)} T={ v1(2,3,2), v2(-1,1,4), v3(2,1,3)} Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T Giải Xét ma trận sau: Giải hệ phương trình ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1 Tương tự xét ma trận Vậy ma trận cần tìm là Bài tập cơ sở không gian vecto1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng khônga. u1(1,2), u2(3,4), u3(5,6) đối với R2 -Không vì cơ sở R2 có 2 vecto b. u1(1,2,3), u2(3,4,5), u3(4,5,6) đối với R3 -Có vì cơ sở R3 có 3 vecto c. u1(2,1), u2(3,0) đối với R2 Số phần tử dim R2 =2 Xét ma trận bổ sung det=-3≠0 => độc lập tuyến tính => là sơ sở |