Bài tập phương trình lượng giác cơ chứa tham số
|
Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi >
Đối với kiến thức lớp 11, cách duy nhất để biện luận phương trình lượng giác chứa tham số chính là đưa về phương trình lượng giác dạng cơ bản để thực hiện.
Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình \( (m^2-3m+2)cos^2x=m(m-1) \) (1) có nghiệm. GIẢI Từ phương trình trên, ta sẽ phân tích thành nhân tử: \( (m-1)(m-2)cos^2x=m(m-1). \) (2) Từ đây ta có:
Với điều kiện m khác 1 và 2, Dễ suy ra được (2) \( \Rightarrow (m-2)cos^2x=m. \) Từ đây \( \Rightarrow cos^2x=\frac{m}{m-2}\Rightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0. \) Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \( m\leq 0, m=1. \) Bài 1. Cho phương trình \( 2sin^2x-sinxcosx-cos^2x=m. \) (a) Giải phương trình khi m = – 1. (b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 2. Cho phương trình \( sin^6x+cos^6x = asin2x. \) (a) Giải phương trình khi a = 1. (b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi m phương trình \( \frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}=m \) luôn có nghiệm. Bài 4. Tìm m để phương trình msinx – cosx = m + 1 có nghiệm. Bài 5. Tìm m để phương trình cos2x – sinx + m = 0 có nghiệm. Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số I. Phương pháp chungTìm điều kiệnđể phương trình có nghiệm x∈ D Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x∈ D Tìm m để phương trình có nghiệm Cách 1:Phương phápđạo hàm + Bước 1:Đặtẩn phụ t = h(x) trongđó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1) + Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xácđịnh D. Gọi miền giá trị của t là D1 + Bước 3:Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0 + Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D1 + Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà cácđịnh giá trị của m Cách 2:Phương pháp tam thức bậc hai (áp dụng khiđưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc hai ) + Bước 1:Đặtẩn phụ t = h(x) trongđó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1) + Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xácđịnh D .Gọi miền giá trị của t là D1 + Bước 3:Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at2+ bt + c = 0 + Bước 4: Giải tìmđiều kiệnđể tam thức f(m,t) có nghiệm t∈ U + Bước 5: Kết luận II. Giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản1. Giải và biện luận phương trình:sinx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu|m|>1phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu|m|≤1, xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quasincủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quasincủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=sinα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. Đặc biệt: Ví dụ 1: Giải phương trình:sin(πsin2x)=1. Ta có: Phương trình(1)có nghiệm khi và chỉ khi: Khi đó(1)có dạng:
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 2. Giải và biện luận phương trình:cosx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu|m|>1thì phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu|m|≤1,xét hai trường hợp: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quacoscủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quacoscủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=cosα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. Đặc biệt: Ví dụ 2: Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Phương trình(1)có nghiệm khi và chỉ khi: Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 3. Giải và biện luận phương trình:tanx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: Xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quatancủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đóphương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quatancủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=tanα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 4. Giải và biện luận phương trình:cotx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: Xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quacotcủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quacotcủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=cotα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. Tài liệu gồm 31 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1. Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình Toán 11) và kiến thức khảo sát hàm số (đầu chương trình Toán 12) để giải quyết. Phương pháp giải toán được tác giả trình bày chi tiết thông qua hệ thống ví dụ minh họa cụ thể. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN. |
