Bài toán tích phân kép có lời giải

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D).

Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là và mỗi miền có đường kính là (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: )

Lấy trên mỗi miền 1 điểm khi đó trên mỗi miền , thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có đáy là và chiều cao là . Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:

Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho sao cho . Khiđó, nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.

2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:

3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy. Nghĩa là, tồn tại (ta công nhận điếu này)

2. Tính chất của tích phân kép:

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:

1. (diện tích miền D)

2.

3.

4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ có điểm biên chung) thì:

TÍCH PHÂN KÉP, BỘI Bài 02.02.1.040.A995: Vẽ ví dụ vùng có: (a).Cả loại I loại II (b).Khơng phải loại I loại II Lời giải: (a)Ở hình vẽ lấy ví dụ khu vực D thỏa mãn điều kiện: có loại I loại II (b)Ở hình vẽ lấy ví dụ khu vực D thỏa mãn điều kiện: loại I loại II Bài 02.02.1.041.A995: Lấy D miền khu vực có loại I có loại II Tính giá trị tích phân kép  xdA , D khép kín đường y  x, y  0, x  D Lời giải: Với vùng miền loại I, D nằm ranh giới thấp y  cao ranh giới y  x với  x  , D   x, y  /  x  1,0  y  x  Nếu mô tả D vùng miền loại II, D nằm đường biên bên trái x  y đường biên bên phải x  với  y  , D   x, y  /  y  1, y  x  1 x Như 1 1  x   1    xdA  xdydx  xy dx  x dx    D    y 0 3 0 0 yx Hoặc: x 1 1     1 2 xdA  xdxdy  x dy   y dy  y  y           D       2     x y y 0 1 1 Bài 02.02.1.042.A995: Lấy D miền khu vực có loại I có loại II Tính giá trị tích phân kép  xydA , D khép kín đường cong y  x , y  3x D Lời giải: Đường cong y  x y  3x giao điểm  0,0  ,  3,9  Với vùng miền loại I, D khép kiến giới hạn y  x giới hạn y  3x với  x  , D   x, y  /  x  3, x  y  3x  Nếu mô tả D với vùng miền loại II, D đóng kiến bới đường biên trái x  đường biên phải x  y với  y  ,bởi y   D   x, y  /  y  9,  x  y    Như vậy: y 3 x  2 D xydA  0 2 xydydx  0  x y  y x2 dx  0 x  x  x  dx x 3x 3 1 1     243    x3  x5  dx  9 x  x    81  729     20 2     3 y Hoặc : y  xydA    y D x y     1  xydxdy    x y  dy    y  y  ydy    y  y  dy 2 0  0   x y 0 9 1 1   1   243   y  y    729  6561    3   36   Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau tính giá trị tích phân kép phương pháp dễ giải thích dùng  ydA ,D tạo thành y  0, y  x2 , x  D Lời giải: Các đường cong y  x  x  y  x  y cắt y   y  y  y     y   y  1   y  1, y  ,bởi giao điểm 1, 1  4,2 mô tả D với miền loại I, giới hạn đường cong y  x giới hạn bao gồm phần y   x với  x  y  x  với1  x  Như vậy: D  x, y  /  x  1,    x  y  x   x, y  /  x  4, x   y  x  Và x  ydA    0 x D ydydx   x  ydydx Nếu mô tả D với miền loại x 2 II, D khép kín đường biên trái x  y đường biên phải x  y  với 1  y  ,bởi D   x, y  / 1  y  2, y  x  y  2 y2  ydA    ydxdy Trong trường hợp, tích phân lặp khơng q khó 1 y D để tính với miền loại II đơn giản y 2  ydA    1 y D 2 ydxdy    xy x y dy    y   y 1 x y 2 1 2  ydy    y  y  y  dy 1  1 1 8     y3  y  y               1  4 3   Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau tính giá trị tích phân kép phương pháp dễ giải thích dùng  y e xy dA ,D tạo thành y  x, y  4, x  D Lời giải: Với miền loại I, D   x, y  /  x  4, x  y  4  y e 4 xy dA   y 2e xy dydx D Với miền loại II, x y D   x, y  /  y  4,0  x  y  y e dA   y 2e xy dxdy Đánh giá xy D y e xy dy đòi hỏi phải tính y e xy 0 dx khơng dễ, tích tích phân lặp theo miền loại II y xy xy  y e dy   y e dxdy    ye  xy D 0 x y x 0   dy   ye y  y dy 17 1    1    e y  y    e16        e16  0  2 2  2  Bài 02.02.1.044.A995: Tính tích phân kép  x cos ydA ,D xác định y  0, y  x2 , x  D   x  y  dA , D xác định y  x, y  x3 , x  D  y dA ,D miền tam giác với đỉnh  0,1 , 1,2 ,  4,1 D  xy dA ,D khép kín x  x   y D   x  y  dA ,D xác định đường tròn tâm gốc bán kính D  xydA ,D miền tam giác với đỉnh  0,0 , 1,2 , 0,3 D Lời giải: 1 x2 1 1 2   x cos ydA  x cos ydydx  x sin y dx  x sin x dx   cos x    D 0 0 0 0 y 0  1  cos1 2 y  x2   x D x  y  dA     x  y  dydx    x y  y  0x yx y  x3 dx 1 1  1 1 23 1    x  x  x  x  dx   x  x  x  x        84 4 3 y  y dA    y 1 D x  3 y y dxdy    xy  dy     y    y  1 y 2dy  x  y 1 2 1 11 8  64    y  y  dy   y  y    16    3 3 1 2 1 y  xy dA    1 D x  1 y 1  xy dxdy   y  x    x 0 1 2 1 dy   y 1  y  dy 1 1 1  11 1 1    y  y  dy   y  y         1 3  1  5  15 4 x 2  2  y  4 x 2  x  y dydx  xy  y    2 2   y  4 x dx 4 x 1      x  x    x   x  x    x   dx 2  2  2  2 2   x  x dx      x      2 2  xydA  D 3 x   xydydx    xy 20 y 3 x 2  dx   x   x    x   dx y 2 x        3 x  x  x  dx    x  x  x       0 4  Bài 02.02.1.045.A996: Tìm thể tích vật rắn Nằm mặt phẳng x  y  z  nằm vùng xác định x  y  x2  y  Lời giải: 3 x V   2x y 1 x 1  x  y  dydx    y  xy  y  y 1 x dx        1  x   x 1  x   1  x   1  x   x 1  x   1  x   dx      x  x  3x  x     x  x    dx 1  1    x  x  x  3x  dx   x  x  x  x  0 5 1 17      60 Bài 02.02.1.046.A996: Tìm thể tích vật rắn Nằm dười bề mặt z   x y nằm vùng khép kín x  y x4 Lời giải: x 4   V    1  x y  dxdy    x  x3 y  dy  x y2 2 y 2  2 2 61  61 9 488 512 488 512 2336       y  y  dy   y  y  y  8  8   3 27 27 27 27      2 Bài 02.02.1.070.A996: Đánh giá tích phân cách đảo ngược hội nhập  y x dydx 1 Lời giải:  x 2 y 2 1 y2 x y2 dydx    dxdy    x x 0 dy   dy y3  y  y  y  0 0 1  ln y     ln  ln1  ln 3 Bài 02.02.1.071.A996: Đánh giá tích phân cách đảo ngược hội nhập 1  e x Lời giải: x y dydx x y  xy  1     e  1 e dydx  e dydx  y e dy  e  ydy  e  y            2  x 0 x 0 0  x y 1 y x y Bài 02.02.1.072.A996: Đánh giá tích phân cách đảo ngược hội nhập    cos x  cos xdxdy arcsin y Lời giải:   2 s inx    cos x  cos xdxdy   arcsin y  cos x  cos xdydx   cos x  cos x  y  y 0 dx y s inx 0   1 2   cos x  cos x sin xdx   u  u du    1  u     1 2   13  1  Bài 02.02.1.072.A996: Đánh giá tích phân cách đảo ngược hội nhập  Lời giải: x  e dxdy y  1 x3 e x4 dxdy    e dydx   e x4 0 y x4  y  y 0 y  x3 1  dx   x e dx   e x    e16  1  0 x4 Bài 02.02.1.073.A996: Biểu diễn D kết hợp miền loại I miền loại II, đánh giá tích phân:  x dA D Lời giải: D   x, y  /  x  1,  x   y  1   x, y  / 1  x  0, x   y  1  x, y  /  x  1, 1  y  x  1   x, y  / 1  x  0, 1  y   x  1 type I  x dA    1 x 1 D x dydx    1 x 1 x 1 x dydx    1 1     x dydx  4 x dx   x    0 1 x 1  x 1 x dydx    1 1 x dydx , Bài 02.02.1.073.A996: Biểu diễn D kết hợp miền loại I miền loại II, đánh giá tích phân:  ydA D Lời giải:  D   x, y  / 1  y  0, 1  x  y  y 3   x, y  /  y  1, y   x  y  y  type I y y  ydA    1 1 D y y ydxdy    y 1 ydxdy    xy x 1 dy    xy x  x y  y3 1 x y  y3 y 1      y  y  y  dy    y  y  y  y  dy  1 0  52  1   y  y  y   y  y  y  y   1  5 0 3 11     2        0  30   30   15 Bài 02.02.1.074.A996:Ước tính giá trị tích phân:  e   x2  y2  dA phần tư hình tròn với trung tâm nguồn gốc Q bán kính góc toạn độ Lời giải: 1    x2  y3   Ở Q   x, y  / x  y  , x  0, y  16  1 So sánh e16  e   x2  y   eo  từ et hàm đơn điệu tăng,Chúng ta có 1  A      16 hỏi: 16 e A  Q    e  x2  y  dA   Hoặc bạn 0.1844   e  16  so 1 16 e   e  x2  y   với  x2  y  dA  Property,  16 dA  0.1964 Bài 02.02.1.075.A996:Ước tính giá trị tích phân:  sin  x  y  dA , tam giác nao đường T Lời giải: T tam giác đỉnh  0,0 , 1,0 1,2  , A T   0  sin  x  y   1 1   với tất x,y A T    sin  c  y dA  A T     sin  x  y  dA  T Bài 02.02.1.076.A997: Tính giá trị trung bình khu vực f  x, y   xy , D tam giác với đỉnh Lời giải:  0,1 , 1,0 , 1,3 : Giá trị trung bình cảu hàm f biến xác định hình chữ nhât quy định 15.1 với f ave  f  x, y  dA Mở rông khu vực đến khu A  R  A  R vực D, có f ave  f  x, y  dA A  D   D Ở D   x, y  /  x ,0  y  3x , A  D   1 3  2 Và y 3 x 2 1  f ave  f  x, y  dA    xydydx    xy  dx   x3dx   A D  D 30 2 30  y 0 3x Bài 02.02.1.076.A997: Tính giá trị trung bình khu vực : f  x, y   x sin y , D giới hạn đường cong y  0, y  x , x  Lời giải: Ở đây: D   x, y  /  x  1,0  y  x  , 1  A  D    x dx   x3    0 Và x2 f ave 1 y  x2  f x , y dA  x sin ydydx   x cos y    y0 dx    A  D   D 0 1 1  1   3  x  x cos  x   dx   x  sin  x      sin1    1  sin1 2 0 2  2 Bài 02.02.1.077.A997:Sử dụng hình học đối xứng , để đánh giá đôi tách rời:   x  2 dA, D   x, y  /  y  D Lời giải:  x2  Đầu tiên viết   x   dA   xdA   2dA Nhưng f  x, y   x D D D hàm với biến x D đối xứng với x.Vì vậy, thể tích D đồ thị f giống thể tích D đồ thị,  xdA  D Cũng có, 2 dA  A D    3  9 từ D nửa đĩa tròn   D Như   x   dA   9  9 D Bài 02.02.1.078.A997:Sử dụng hình học đối xứng , để đánh giá đôi tách rời:  R  x  y dA , D đĩa tròn tâm gốc bán kính R D Lời giải: Bản đồ f  x, y   R  x  y phía ½ x2  y  z  R2 , tâm gốc tọa độ , bán kính R, D đĩa tròn mặt phẳng xy , tâm gốc bán kính R Như vậy:  D R  x  y dA đại diện nửa cầu bán kính R:  R3   R3 3 Bài 02.02.1.078.A997:Sử dụng hình học đối xứng , để đánh giá đôi tách rời:   x  y  dA , D hình chữ nhật  x  a,0  y  b D Lời giải: Ta viết :   x  y  dA   xdA   ydA D D D  xdA đại diện cho thể tích hình rắn nằm D nhật D Bởi Lại có : a.2a.b  a 2b  ydA  b.3b  ab D Bởi vậy:   x  y  dA  a b  D ab z  x hình chữ Chương 15.4: Tích phân kép tọa độ cực Bài 02.02.1.079.A1002: Một khu vực R hiển thị.Quyết định sử dụng tọa độ cực tọa độ hình chữ nhật để viết  f  x, y  dA tích phân R lặp , nơi mà f lien tục R Lời giải: 1.Vùng R dễ dàng mô tả bẳng phương pháp cực tọa độ: 3   R   r ,  /  r  4,0       3 Như vậy:  f  x, y  dA    f  r cos , r sin   rdrd R 0 Vùng R dễ dàng mô tả bẳng phương pháp hình chữ nhật: R   x, y  / 1  x  1,0  y   x  1 x Như vậy:  f  x, y  dA    f  x, y  dydx 1 R Vùng R dễ dàng mô tả bẳng phương pháp hình chữ nhật: 1  R   x, y  / 1  x  1,0  y  x   2   x 1      Như vậy:  f  x, y  dA    f  x, y  dydx 1 R Vùng R dễ dàng mô tả bẳng phương pháp cực tọa độ:    R   r ,  /  r  6,    2   Như vậy:  f  x, y  dA    f  r cos , r sin   rdrd R  Bài 02.02.1.080.A1002:Phác khảo khu vực có diện tích cho tích đánh giá tích phân: 3   rdrd   2sin   Lời giải: 3 1.Tích phân   rdrd đại diện cho khu vực  rdrd 3   R   r ,  /  r  r ,4     , phía ¼ vòng tròn   3    34  3    1 rdrd    d   1 rdr    44   4   2sin  2.Tích phân     3    3   r           4  22 rdrd đại biểu cho khu vực vùng    R   r ,  /  r  2sin  ,        Từ đó: r  2sin   r  2r sin  x  y  y  x   y  1  với R phần góc tư thứ II đĩa bán kính tâm  0,1  2sin     r  2sin   1  rdrd    r   r 0  2   d   2sin  d   2   2 1  cos 2  d         sin 2        2   Bài 02.02.1.081.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực  x ydA , D nằm nửa phía đĩa tròn với tâm gốc tọa độ D bán kính Lời giải: Nửa D mơ tả thay đổi cực tọa độ: D   r ,  /  r  5,0           r cos   r sin   rdrd    cos  sin  d   r dr  D x ydA   0 0   2 Sau :  1250   1     cos3    r     1  1 625  3  0  0 Bài 02.02.1.082.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực   x  y  dA , R nằm khu vực góc tọa độ bao bọc R đường cong x  y  đường thẳng x  y  x Lời giải: Vùng R 1/8 đĩa tròn, hình phía mơ tả    R   r ,  /  r  2,     2    2     x  y dA  r cos   r sin  rdrd   2cos   sin  d        R      r dr       4  2    16   2sin   cos   r    0 3 Bài 02.02.1.083.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực  sin  x  y  dA , R nằm khu vực góc tọa độ nằm R đường với gốc tọa độ bán kính Lời giải:   2     2 2 sin x  y d A  sin r rdrd   d  r sin r dr         R 0 1                   cos  r  dr    cos1  cos9  Bài 02.02.1.084.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực y2 2 R x  y dA , R nằm đường cong x  y  a x  y  b2 với  a  b Lời giải: y2 R x  y dA  2 b   r sin   r2 a rdrd b  2  b  2    sin  d   rdr    1  cos 2  d  rdr a 0  a  2 1 1  1  1      sin 2   r    2      b  a     b  a  2 0  a 2  b Bài 02.02.1.085.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực  e  x2  y dA , D nằm vùng xác định đường cong bán D nguyệt x   y trục y Lời giải:   e  x2  y dA  2  e  r2 rdrd   D 2  d  re  r2  dr     2  r2    e    1       e 4  e0   1  e 4    Bài 02.02.1.086.A1002: Đánh giá tích phân cách thay đổi tọa độ cực  cos x  y dA , D đĩa tròn với tâm gốc tọa độ bán kính D Lời giải:  cos 2 x  y dA  2 D   cos r rdrd  0 2 0  d  r cos rdr đặt u  r , dv  cos rdr Sau đó:  cos D x  y dA   0  r sin r  cos r 0  2  2sin  cos  1 2 ...   3   36   Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau tính giá trị tích phân kép phương pháp dễ giải thích dùng  ydA ,D tạo thành y  0, y  x2 , x  D Lời giải: Các đường cong...  1  4 3   Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau tính giá trị tích phân kép phương pháp dễ giải thích dùng  y e xy dA ,D tạo thành y  x, y  4, x  D Lời giải: Với miền loại.. .Bài 02.02.1.041.A995: Lấy D miền khu vực có loại I có loại II Tính giá trị tích phân kép  xdA , D khép kín đường y  x, y  0, x  D Lời giải: Với vùng miền loại I,

- Xem thêm -

Xem thêm: Bài tập tích phân kép, tích phân bội có lời giải,