Các bài tập về phương trình và hệ phương trình

Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là những phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong phương trình (1) nếu giá trị của vế trái tại $x=x_0;y=y_0$ bằng vế phải thì cặp số $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ: Cặp số (3; 4) là một nghiệm của phương trình 2x - y = 2 vì 2.3 - 4 =2

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi 1 điểm. Nghiệm $(x_0;y_0)$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $(x_0;y_0)$

3. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c ( $a\neq0$ hoặc $b\neq0$ ) luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là (d)

- Nếu $a\neq0$ và $b\neq0$ thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

- Nếu $a\neq0$ và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay $x=\frac{c}{a}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung.

- Nếu a = 0 và $b\neq0$ thì phương trình trở thành by = c hay $y=\frac{c}{b}$ và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ: Phương trình 3x + y = 5 luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình này là $S=\left\{(x;5-3x)/ x\in R\right\}$

Phương trình 2x + 0y = 8 nghiệm đúng với mọi y và x = 4 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x=4\\y\in R\end{cases}$

Phương trình 0x + 4y = 8 nghiệm đúng với mọi x và y = 2 nên nghiệm tổng quát của phương trình là $\begin{cases}x\in R\\y=2\end{cases}$

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases}ax+by=c\\a’x+b’y=c’\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung $(x_0;y_0)$ thì $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của hệ (I)

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.

Ví dụ: $\begin{cases}x+y =6\\2x-y=3\end{cases}$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta thấy cặp số (3; 3) là một nghiệm của phương trình trên vì $\begin{cases}3+3 =6\\2.3-3=3\end{cases}$

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ phương trình $\begin{cases}ax+by=c\,\,\,(d)\\a’x+b’y=c’\,\,\,(d’)\end{cases}\,\,\,(I)\,\,\,(a^2+b^2\neq0;a’^2+b’^2\neq0)$

Bạn đang xem tài liệu "Bài tập giải hệ phương trình Lớp 9 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Nội dung text: Bài tập giải hệ phương trình Lớp 9 (Có đáp án)

1. Bài tập và đáp án Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 1 x 3y 10 19 3x 2y 8 37 2x y 4 x 5y 16 2x 3y 12 2x 0y 6 0 2 2x y 7 20 2x y 5 38 x 2y 2 x 4y 10 x 7y 9 2x 4y 1 3 3x 5y 18 21 5x 3y 7 39 3x 2y 2 0 x 2y 5 3x y 8 9x 6y 4 0 4 4x 3y 6 22 2x y 3 40 2x y 2 2x 5y 16 3x 4y 10 4x 2y 4 0 5 2x y x 3y 3 23 x y 2 41 x 2y 4 ) 3x 3y 9 x 3y 6 2x 9y 18 6 2x 4y 3 24 x 2y 5 42 2x y 3 x 2y 1 3x 4y 5 x y 3 7 x y 2(x 1) 25 3x 2y 12 43 x y 0 7x 3y x y 5 4x y 5 2x y 5 8 2x 5y (x y) 26 2x y 10 44 2x y 0 6x 3y y 10 5x 2y 6 x 4y 0 9 3x y 2 27 5x 2y 10 45 x y 3 9x 3y 6 5x 2y 6 x 2y 3 10 2x 5y 7 28 3x 2y 8 46 x y 2 2x 3y 1 4x 3y 12 3x 2y 9 11 x 3y 10 29 2x y 3x 20 47 3x y 2 2x y 1 4x y x 2y 12 6x 2y 3 12 2x 3y 2 30 5x y 1 48 2x 3y 6 3x 2y 3 10x 2y 0 4x 6y 12 13 2x y 3 31 3x 2y x 49 3x 2y 6 3x y 7 5(x y) 3x y 5 2x 3y 4 14 2x y 7 32 2x 5y 1 50 x 2y 2 x 2y 5 4x 10y 2 2x y 1 15 x 2y 5 33 2x y 5 51 2x y 5 3x 2y 1 x y 1 3x y 15 16 3x 2y 12 34 x 2y 4(x 1) 52 3x 2y 8 4x 3y 1 5x 3y (x y) 8 5x 2y 12 17 5x 3y 22 35 x y 1 53 2x 3y 5 3x 2y 22 3x 2y 8 2x 3y 1 18 3x y 0 36 0x y 3 54 2x 3y 5 x 2y 5 x 2y 4 4x 6y 10 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: 1
2. 1 1 1 5 1 1 9 1 2 1 3 2 x y x y x y x y 2 2 4 2 3 3 1 5 1 1 x y x y x y x y 2 2 2 3 6 2 6 10 x 3 1 1,1 5 x 1 y x y x y x y x y 2 5 4 9 2x 1 1 0,1 3 x 1 y x y x y x y x y 3 1 1 7 2x y 11 3 2 2 3 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 2 3 x 3y 4 10 1 1 2 x 2 y 1 x 1 y 1 x y 2x y 4 2 2 8 1 1 3 12 x x 2 1 x 2 y 1 x y 4 y y 12 2 3 1 1 2 x x 1 2 x 2 y 1 6x 5y 15 x 12 y mx y 1 Bài 3: Cho hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: mx y 1 2x y 1 a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta có hệ phơng trình trở thành x 2y 2 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m y 1 mx mx y 1 y 1 mx y 1 mx 2 x m. 1 mx 2 2 1 m x 2 m (*) Ta có x my 2 x m m x 2 2 m 2m m2 y 1 m. 2 y 1 y 1 mx 1 m 1 m2 2 m 2 m 2 m x 2 x 2 x 2 1 m 1 m 1 m 2
3. 1 m2 2m m2 1 2m y y 1 m2 1 m2 2 m 2 m x x 2 1 m2 1 m (m 1 ) 2 m 1 2m 2 ; 2 Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = 1 m 1 m với m 1 - Xét m = 1 => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Xét m = - 1 => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 m2 1 m2 2 m 1 2m 1 m m2 m 0 m. m 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 m = 0 (nhận), m = - 1 (loại) Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m Từ phơng trình 1 mx 1 y x 1 y 1 y m x .y 2 thay x vào phơng trình 2 ta có phơng trình x y y2 x 2 2 2 2 2 x x y y 2x x y y 2x 0 2 2 Vậy x y y 2x 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 Bài 4: Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên. Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 3
4. 4 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 3x 4 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y x 2y 2 3 3 3 3 4 1 ; Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 3 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 2 x y m Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y y 2 x y 2 x y 2 x y m 1 x y thay y vào phơng trình 1 ta có phơng trình: y y 2 x y y 2 x y .x y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo tham số m ta có hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. m 1 m 1 x x m. m 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. m 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là 4
5. ()x R;y 2 x +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m m2 m 2m2 4m 2 7m m2 m2 3m 2 0 m 2 . m 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) Thay m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. m m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y Để biểu thức A = x y nhận giá trị nguyên 5 5 2 m 2 nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =  1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 0 ; m 2 Vậy với các giá trị m  7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu 2x 3y thức x y nhận giá trị nguyên. mx y 2 Bài 5 Cho hệ pt: 2x y 1 . Giải và biện luận hệ theo m. Bài làm: 2x y 1 (2 m)x 3 (1) mx y 2 2x y 1 (2) + Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3 -Nếu 2 + m = 0 m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm. -Nếu 2 + m 0 m - 2. 3 Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2 m 5
6. 3 6 4 m + Thay x = 2 m vào phơng trình (2) ta có:y = 2x – 1 = 2 m - 1 = 2 m 3 x 2 m 4 m y Vậy với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 2 m . Tóm lại: +) Với m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm 3 x 2 m 4 m y +) Với m - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất 2 m . x 7 y Bài 6 Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình mx 2y p a) Có một nghiệm duy nhất b) Có vô số nghiệm c) Vô nghiệm Giải: Thay x = 7 – y vào phơng trình thứ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) Nếu m + 2 0 m 2 => Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 7m p 7m p 14 p Từ (1) => y = m 2 , thay vào x = 7 – y => x = 7 - m 2 = m 2 14 p 7m p Vậy khi m 2 thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (m 2 ;m 2 ) b) Nếu m = - 2 => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 p = - 14 Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - 2 và p 14 thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: mx 2y p Hệ phơng trình đã cho x y 7 m 2 m 2 a) Hệ có nghiệm duy nhất 1 1 p m 2 b) Hệ vô số nghiệm 1 1 7 => m = - 2, p = - 14 p m 2 c) Hệ vô nghiệm 1 1 7 => m = - 2, p 14 6
7. Bài 7 : Phơng pháp: ax by c (1) Cho hệ phơng trình : a x b y c (2) x x0 y y Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm 0 Cách 1: Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải. Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải. Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình chứa ẩn là tham số Bài8 : Cho hệ phơng trình 3x 2y 7 (1) 2 (5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 – 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n) Vậy (2; 1) là nghiệm của (1). Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3 n 0 7n – 3 = n2 – 4n – 3 n(n –11) = 0 n 11 Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) 1 5m(m 1)x my (1 2m)2 (1) 3 2 Bài 9 Cho hệ phơng trình 4mx 2y m 3m 6 (2) Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất (x = 1; y = 3). Giải: Thay x = 1; y = 3 vào (1) ta có: m 1 5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 m2 = 1 m 1 (I) Thay x = 1; y = 3 vào (2) ta có: m 0 4m + 6 = m2 + 3m + 6 m(m – 1) = 0 m 1 (II) Từ (I) và (II) Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3) 2mx (n 2)y 9 Bài 10 Cho hệ phơng trình : (m 3)x 2ny 5 Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có: (m 3).3 2n.( 1) 5 3m 2n 4 m 2 6m (n 2).( 1) 9 12m 2n 14 n 5 Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1). 7
8. 3x 2y 8 (1) Bài 11 Cho hệ phơng trình 3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - 6 (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: 5 3(m + 5) + 6m 0 m 3 Do (x; y) là nghiệm của hệ phơng trình (I) và thoả mãn (3) (x; y) là nghiệm của (1), (2), (3) 3x 2y 8 x 2 Kết hợp (1) và (3) ta có: 4x 2y 6 y 1 Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = m2 - 1 m2 – 5m + 4 = 0 m 1 5 m 4 (thỏa mãn m 3 ) Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - 6 mx y 5 (1) Bài 12 Cho hệ phơng trình 2mx 3y 6 (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3 2.m m 0. Từ (1) y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có: 9 2mx + 3(5 - mx) = 6 x = m (m 0) 9 9m Thay x = m vào y = 5 – mx ta có: y = 5 - m = - 4 9 Vậy với m 0 hệ (I) có nghiệm x = m ; y = - 4 9 Thay x = m ; y = - 4 vào phơng trình (3) ta đợc: 9 (2m – 1).m + (m + 1)(- 4) = m 9 18 - m - 4m – 4 = m 5m2 – 14m + 9 = 0 m 1 9 m (m – 1).(5m – 9) = 0 5 (thoả mãn m 0) 8
9. 9 Vậy với m = 1 hoặc m = 5 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất thoả mãn (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m 2)x 2y 5 Bài 13 Cho hệ pt: mx y 1 Tìm mZ để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7 2 7 x.(3m + 2) = 7 (m 3 ) x = 3m 2 . 7 4m 2 Thay vào y = mx – 1 y = 3m 2 .m – 1 y = 3m 2 7 7; 7;1; 1 Để x Z 3m 2 Z 3m + 2 Ư(7) =   +) 3m + 2 = - 7 m = - 3 5 +) 3m + 2 = 7 m = 3  Z (loại) 1 +) 3m + 2 = 1 m = 3  Z (loại) +) 3m + 2 = -1 m = - 1 4m 2 Thay m = - 3 vào y = 3m 2 y = 2 (t/m) 4m 2 Thay m = - 1 vào y = 3m 2 y = 6 (t/m) Kết luận: m Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1 (m 3)x y 2 Bài 14 Cho hệ phơng trình : mx 2y 8 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Giải: Từ (1) ta có y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 - mx + 6x = 4 x.(6- m) = 4 (m 6) 4 24 6m x = 6 m . Thay vào y = 2 – (m – 3).x ta có: y = 6 m 4 1; 1;2; 2;4; 4 Để x Z 6 m Z 6 - m Ư(4) =   +) 6 – m = 1 m = 5 +) 6 – m = -1 m = 7 +) 6 – m = 2 m = 4 +) 6 – m = - 2 m = 8 +) 6 – m = 4 m = 2 9
10. +) 6 – m = - 4 m = 10 24 6m Thay m = 5 vào y = 6 m y = - 6 (t/m) 24 6m Thay m = 7 vào y = 6 m y = 18 (t/m) 24 6m Thay m = 4 vào y = 6 m y = 0 (t/m) 24 6m Thay m = 8 vào y = 6 m y = 17 (t/m) 24 6m Thay m = 2 vào y = 6 m y = 3 (t/m) 24 6m Thay m = 10 vào y = 6 m y = 9 (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m 5;7;4;8;2;10 mx y m2 (1) 2 Bài 15 Cho hệ phơng trình : 2x my m 2m 2 (2) a) Chứng minh rằng hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (1 ; 0) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a ' b' hay ab' a ' b m.m ( 1).2 m2 + 2 0 Do m2 0 với mọi m m2 + 2 > 0 với mọi m. Hay m2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 0 x = m + 1 Thay vào (3) y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc: x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5 5 25 5 m ) = (m2 + 2. 2 4 4 5 5 5 5 (m )2 (m )2 0 = 2 4 4 Do 2 5 5 Vậy Min(x2 + 3y + 4) = 4 khi m = 2 10
11. 3mx y 6m2 m 2 (1) 2 Bài 16 Cho hệ phơng trình : 5x my m 12m (2) Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 với mọi m) 6m3 10m x 2m 3m2 5 Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2 Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 2 = 2(m 2) 16 16 Do 2(m 2) 0 m Vậy MaxA = 16 khi m = 2 Bài 17 Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y m 2 2 2 x y m 6 Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất. x y m 2 Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: xy m 3 Hệ phơng trình có nghiệm 2 2 2 m 4(m 3) 3m 12 2 m 2 2 Khi đó P = (m 1) 4 4 Vậy MinP = - 4 m = - 1 (thỏa mãn 2 m 2 ) Bài 18 Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình x y 2a 1 2 2 2 x y a 2a 3 Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn nhất ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành: x y 2a 1 3a2 6a 4 xy 2 Hệ phơng trình có nghiệm 2 2 2 2 2 2a 1 4. 3a 6a 4 2a 8a 7 0 2 a 2 2 2 2 3 (a 1)2 1 Ta có xy = 2 2 11
12. 2 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 Với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 a 2 a 1 1 a 1 1 2 2 2 2 2 Với 3 2 3 3 2 1 11 => xy 2 2 2 4 2 3 2 3 2 11 xy 11 Do đó 4 2 4 2 3 2 2 11 2 Vậy Min(xy) = 4 2 a = 2 3 2 2 11 2 và Max(xy) = 4 2 a = 2 Bài 19 Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình (m 1)x y m 1 x (m 1)y 2 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhất Hớng dẫn: Tìm đợc với m 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là m2 1 m 1 x ;y m2 m2 2 2 2 m 1 m 1 ( 1 ) 7 7 2 2 Ta có x + y = m m m 2 2 8 8 2 7 1 0 8 m Min (x + y) = 2 2 m = - 4 (thỏa mãn m 0 ) Cách khác: 2 x y m m 2 S (1 S)m2 m 2 0 (*) m2 Ta cần tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m - Xét hai trờng hợp *) Trờng hợp 1: S = 1 => m = - 2 (thỏa mãn m 0 ) *) Trờng hợp 2: S 1 , để phơng trình có nghiệm thì 0 S 7 8 1 1 4 7 b 2(1 S) 2(1 7 ) Vậy Min S = 8 khi đó m = 2a = 8 12
13. 7 Min (x + y) = 8 m = - 4 mx y 1 Bài 20 Cho hệ phơng trình: x my 2 a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Giải: mx y 1 a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình x my 2 ta có hệ phơng trình trở thành 2x y 1 y 1 2x y 1 2x x 2. 1 2x 2 x 2y 2 x 2 4x 2 y 1 2x y 1 2.0 y 1 3x 0 x 0 x 0 Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất là ( x ; y) = ( 0 ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m mx y 1 y 1 mx x m. 1 mx 2 Ta có hệ phơng trình x my 2 y 1 mx y 1 mx 2 1 m2 x 2 m (*) x m m x 2 - Trờng hợp 1: m2 = 1 m = 1 x y 1 +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta có: x y 2 hệ phơng trình này vô nghiệm vì 1 1 1 1 1 2 x y 1 +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có: x y 2 x y 1 1 1 1 x y 2 hệ này cũng vô nghiệm vì 1 1 2 - Trờng hợp 2: m2 1 m 1 2 m y 1 m. 2 y 1 mx 1 m y 1 mx 2 m 2 m 2 x 1 m x 2 m (*) 2 x 2 Hệ phơng trình 1 m 1 m 2m m2 1 m2 2m m2 1 2m y 1 y y 1 m2 1 m2 1 m2 2 m 2 m 2 m x x x 2 1 m2 1 m2 1 m 13
14. Vậy với m 1 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m Tóm lại: Nếu m = 1 thì hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 2 m 1 2m 2 ; 2 (x; y ) = 1 m 1 m c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1 2 m 1 2m 1 2 1 m2 1 m2 2 m 1 2m 1 m m2 m 0 m. m 1 0 m 0 m 0 m 1 0 m 1 Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận) Vậy với m = 0 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. mx y 1 1 Xét hệ phơng trình x my 2 2 1 y m Từ phơng trình 1 mx 1 y x 1 y m Thay x vào phơng trình 2 ta có phơng trình 1 y y y2 x .y 2 x 2 2 2 x x x y y 2x 2 2 x y y 2x 0 , đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 Bài 21 Cho hệ phơng trình: có nghiệm duy nhất (x ; y) a) Giải hệ phơng trình khi m = 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1 2x 3y d) Tìm các giá trị của m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên. (Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005) Giải: m 1 x y m x m 1 y 2 a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình ta có hệ phơng trình trở thành 3 1 x y 3 2x y 3 4x 2y 6 3x 4 x 3 1 y 2 x 2y 2 x 2y 2 x 2y 2 14
15. 4 4 4 4 x x x x 3 3 3 3 4 4 2 1 2y 2 2y 2 2y y 3 3 3 3 Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất 4 1 ; ( x ; y) = 3 3 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m 1 x m 1 y 2 Xét hệ phơng trình 2 Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y 2 x y m y . 2 x y m Thay y vào phơng trình 1 ta có phơng trình: 2 x y 2 x y 2 x y y 2 x y 1 x y .x y y y y y 2 x 2 x y 2x x2 y2 2 x y .x y y y y y 2 2 2 2 2x x y 2 x y x y 3x y 2 0 2 2 Vậy x y 3x y 2 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. m 1 x y m x m 1 y 2 c) Giải hệ phơng trình theo tham số m, ta có hpt 2 2 m 1 x y m m 1 x m 1 y m. m 1 m 1 x x m. m 1 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 x m 1 y 2 2 2 m 2m 1 1 x m m 2 m. m 2 x m 1 m 2 (*) x m 1 y 2 x m 1 y 2 - Xét hai trờng hợp: *) Trờng hợp 1: m 0 và m 2 , hệ phơng trình trên m 1 m 1 x x m m m 1 m 1 m 1 y 2 m 1 y 2 m m m 1 m 1 m 1 x x x m m m 2m m 1 m 1 1 m 1 y m 1 y y ` m m m 15
16. m 1 1 ; Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = m m (m 0,m 2 ) *) Trờng hợp 2: m = 0 hoặc m = 2 - Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm - Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là: (x R;y 2 x) +) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1 2 m 1 1 2m2 4m 2 7 2 7. 1 1 m m m2 m 2m2 4m 2 7m m2 m2 3m 2 0 m 2 . m 1 0 m 2 0 m 2 (loại) m 1 0 m 1 m = 1 Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1 m 1 1 2x 3y x y d) Thay m ; m vào biểu thức A = x y ta đợc biểu thức m 1 1 2m 2 3 2. 3. m m m m 1 1 m 1 1 2m 1 m 2 2m 1 2 m 2 5 : A = m m = m = m m = m 2 = m 2 2 m 2 5 5 2 = m 2 m 2 = m 2 2x 3y 5 5 2 Để biểu thức A = x y nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên m 2 nhận giá trị nguyên 5M m 2 (m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =  1; 5 m 2 1 m 1 2 m 1 m 2 1 m 1 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 3 m 2 5 m 5 2 m 7 Kết hợp với điều kiện m 0 ; m 2 ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn 2x 3y Vậy với m  7; 3; 1;3 thì giá trị của biểu thức x y nhận giá trị nguyên. 2mx 3y 5 Bài 22 Cho hệ phơng trình : x 3my 4 a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp 16
17. Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất là 5 (x ; y) = (- 4 ; 3 ) Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất a b a ' b' hay ab' a ' b - Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m - Vậy 6m2 + 3 0 với mọi m. Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 5 3y b) Rút m từ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có: 5 3y -x + 3. 2x = 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0. Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. 3mx y 3m2 2m 1 2 Bài 23 Cho hệ phơng trình : x my 2m Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. Hớng dẫn : 3mx y 3m2 2m 1 6mx 2y 6m2 4m 2 2 2 x my 2m 3x 3my 6m 6mx 3x 2y 3my 4m 2 6mx 3my 4m 3x 2y 2 2 2 x my 2m x my 2m 3x 2y 2 m Rút m từ (1) ta đợc: 6x 3y 4 . Thay vào (2) ta có: 3x 2y 2 3x 2y 2 x .y 2.( )2 6x 3y 4 6x 3y 4 . Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. mx y 2m Bài 24 Cho hệ phương trỡnh ẩn x, y sau: x my m 1 a. Xỏc định giỏ trị của m để hệ cú nghiệm duy nhất b. Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x, y độc lập với m. c. Tỡm m Z để x, y Z d. Chứng tỏ (x ; y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trỡnh) Hướng dẫn: m x y 2 m ( 1 ) x m y m 1 ( 2 ) 2 2 ( m 1 ) x 2 m m 1 ( 3 ) Với m ± 1 thỡ hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất b/ Rỳt m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đú là hệ thức độc lập với m 17
18. 2m 1 1 m 1 1 x 2 (4) y 1 (5) z c/ m 1 m 1 m 1 m 1 . Vỡ x, y Z m 1 m = 0 (x = 1; y = 0) m = - 2 (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 y = x – 1 Vậy (x ; y) luụn nằm trờn một đường thẳng cố định y = x – 1 x y a ax 2y 6 (I) và (II) Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình x y 4 x y 1 a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dẫn: a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ =  => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S =  4 ; 1 Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ =  3 3  Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình trên không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng x 2y 1 mx ny 6 (I) và (II) 4x 5y 17 3mx 2ny 10 Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1) Hai hệ phơng trình trên tơng đơng khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II) 2 ,n 8 Kết quả m = 3 18